France métropolitaine 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, on considère le point $A$ d'affixe $2$ et le cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ passant par $A$.

Dans tout l'exercice, on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha=1+i\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$.

    1. Démontrer que $\alpha^2- 4\alpha=2\overline{\alpha}-8$.

    2. Démontrer que les points $B$ et $C$ d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathscr{C}$.

  2. Soit $D$ un point du cercle $\mathscr{C}$ d'affixe $2e^{i\theta}$ où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]-\pi;\pi]$.
    1. Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point $E$ tel que $z_E=e^{i\frac{\pi}{3}}z_D$.

    2. Justifier que le point $E$ a pour affixe $z_E=\alpha e^{i\theta}$.

  3. Soient $F$ et $G$ les milieux respectifs des segments $[BD]$ et $[CE]$.
    1. Justifier que le point $F$ a pour affixe $z_F=\dfrac{\alpha}{2}+e^{i\theta}$.

    2. On admet que le point $G$ a pour affixe $z_G=\dfrac{\alpha e^{i\theta}+\overline{\alpha}}{2}$.

      Démontrer que $\dfrac{z_G-2}{z_F-2}=\dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1) a).


    3. Montrer que $\text{arg}\left(\dfrac{z_G-2}{z_F-2}\right)=\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AG}\right)\;[2\pi]$.

    4. Déduire des deux questions précédentes que le triangle $AFG$ est équilatéral.

  4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point $D$, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté $A$F du triangle $AFG$ est minimale.

    On admet que $AF^2 =4-3\cos \theta+\sqrt{3}\sin \theta$.

    On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi;+\pi]$ par $f(x) = 4-3\cos x+\sqrt{3}\sin x$.
    Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi; +\pi]$.
    Compléter ce tableau de variation. Permet-il de valider ia conjecture ? Justifier.

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    5. ANNEXE 2 (Exercice 4)
    (à rendre avec la copie)

    (Candidats n'ayant pas suivi L'enseignement de spécialité)

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