Liban 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)

Partie A. Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

• $e^0=1$.
• Pour tous réels $x$ et $y$, $e^x\times e^y=e^{x+y}$.

1. Démontrer que pour tout réel $x$, $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$.


2. Démontrer que pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$, $\left(e^x\right)^n=e^{nx}$.

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\;dx$.

1. 1. Montrer que $u_0+u_1= 1$.
   
   
   2. Calculer $u_1$. En déduire $u_0$.


2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant0$.


3. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} +u_n=\dfrac{1-e^{-n}}{n}$.
   
   
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\leqslant\dfrac{1-e^{-n}}{n}$.


4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.