Liban 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

Partie A. Restitution organisée de connaissances

1. Soit $x\in\mathbb{R}$. $e^x\times e^{-x}=e^{x+(-x)}=e^0=1$. En particulier, $e^x\neq0$ et on peut donc écrire $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$. On a montré que

   pour tout réel $x$, $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$.



2. Soit $x\in\mbr$. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\left(e^x\right)^n=e^{nx}$.
   
   • Pour $n=0$, $\left(e^x\right)^0=1$ et $e^{0x}=e^0=1$. Donc $\left(e^x\right)^0=e^{0x}$ et l'égalité est vraie quand $n=0$.
   • Soit $n\geqslant0$. Supposons que $\left(e^x\right)^n=e^{nx}$. Alors
   $\left(e^x\right)^{n+1}=\left(e^x\right)^{n}\times e^x=e^{nx}\times e^x=e^{nx+x}=e^{(n+1)x}$.

   On a montré par récurrence que

   pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$, $\left(e^x\right)^n=e^{nx}$.

Partie B

1. 1. Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}$ est continue sur $[0,1]$ en tant que quotient de fonctions continues sur $[0,1]$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $[0,1]$. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe. \begin{align*} u_0+u_1&=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+e^{-x}}\;dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\;dx\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x}}+\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)dx\;(\text{par linéarité de l'intégrale})\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}1\;dx=(1-0)\times1\\ &=1. \end{align*}

      $u_0+u_1=1$.

   
   
   2. 
      \begin{align*} u_1&=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}-\dfrac{(1+e^{-x})'}{1+e^{-x}}\;dx=\left[-\ln(1+e^{-x})\right]_0^1=-\ln(1+e^{-1})+\ln(1+e^0)\\ &=\ln2-\ln\left(1+\dfrac{1}{e}\right)=\ln2-\ln\left(\dfrac{e+1}{e}\right)=\ln2-\left(\ln(e+1)-\ln e\right)=1+\ln2-\ln(e+1). \end{align*}

      Ensuite, $u_0=1-u_1=1-(1+\ln2-\ln(e+1))=\ln(e+1)-\ln2$.

      $u_0=\ln(1+e)-\ln2$ et $u_1=\ln2-\ln\left(1+e^{-1}\right)$.

      Remarque. $u_0=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+e^{-x}}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{e^x}}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^x}{e^x+1}\;dx=\left[\ln(e^x+1)\right]_0^1=\ln(e+1)-\ln2$.



2. Soit $n$ un entier naturel. Pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\geqslant0$. Par positivité de l'intégrale, on en déduit que $\dint{0}{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\;dx\geqslant0$. On a montré que

   pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant0$.



3. 1. Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{align*} u_{n+1}+u_n&=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}\;dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\;dx\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-(n+1)x}+e^{-nx}}{1+e^{-x}}\;dx\;(\text{par linéarité de l'intégrale})\\ &=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}\left(e^{-x}+1\right)}{1+e^{-x}}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-nx}\;dx=\left[-\dfrac{e^{-nx}}{n}\right]_0^1=\left(-\dfrac{1}{n}e^{-n}\right)-\left(-\dfrac{1}{n}e^0\right)\\ &=\dfrac{1-e^{-n}}{n}. \end{align*}

      Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}+u_n=\dfrac{1-e^{-n}}{n}$.

   
   
   2. Soit $n$ un entier naturel non nul. D'après la question 2), $u_{n+1}\geqslant0$ et donc $u_{n+1}+u_n\geqslant u_n$. D'après la question précédente, on a alors $u_n\leqslant\dfrac{1-e^{-n}}{n}$.

      Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n\leqslant\dfrac{1-e^{-n}}{n}$.



4. Pour tout entier naturel non nul $n$, on a $0\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1-e^{-n}}{n}$.
   Or, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{-n}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}e^{X}=0$ et donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1-e^{-n}\right)=1$. D'autre part, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$ et en divisant on obtient $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1-e^{-n}}{n}=0$.

   D'après le théorème des gendarmes, on en déduit que la suite $(u_n)$ converge et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0$.

   $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0$.