- Notons $X$ le nombre de boules blanches obtenues au bout de dix tirages. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
- $10$ expériences identiques et indépendantes (puisque les tirages se font avec remise) sont effectuées ;
- chaque expérience a deux issues~:~\og la boule est blanche \fg~avec une probabilité $p=\dfrac{1}{3}$ ou \og la boule est noire \fg~avec une probabilité $1-p=\dfrac{2}{3}$.
La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{1}{3}$.
La probabilité demandée est $p(X=3)$. La calculatrice fournit
$p(X=3)=\dbinom{10}{3}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^7=0,26$ à $10^{-2}$ près.
Donc la proposition 1 est vraie.
- Soit $a$ un réel positif.
$$p(X\leqslant a)=\dint{0}{a}\lambda e^{-\lambda t}\;dt=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^a=1-e^{-\lambda a}.$$
On a aussi $p(X>a)=1-p(X\leqslant a)=e^{-\lambda a}$. Par suite,
\begin{align*}
p(X\leqslant a)=p(X>a)&\Leftrightarrow1-e^{-\lambda a}=e^{-\lambda a}\Leftrightarrow e^{-\lambda a}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow-\lambda a=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\Leftrightarrow-\lambda a=-\ln2\\
&\Leftrightarrow a=\dfrac{\ln2}{\lambda}.
\end{align*}
Donc la proposition 2 est vraie.
- $z=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$. Donc un argument de $z$ est $-\dfrac{\pi}{3}$. Mais
alors pour tout entier naturel $n$, un argument de $z^n$ est $-n\dfrac{\pi}{3}$. Si de plus, $n$ est un multiple de $3$, on peut poser $n=3p$ où $p$ est un entier naturel. Un argument de
$z^n$ est alors $-n\dfrac{\pi}{3}=-p\pi$. Or, un nombre complexe d'argument $-p\pi$, $p\in\mbn$, est un nombre réel et donc si $n$ est un multiple de $3$, $z^n$ est un nombre réel. La
proposition 3 est vraie.
- L'affixe du vecteur $\overrightarrow{BA}$ est $a-b=\left(1-\dfrac{1+i}{2}\right)a=\dfrac{1-i}{2}a$. Puisque un nombre complexe et son conjugué ont même module, on a alors
$BA=|a-b|=\left|\dfrac{1-i}{2}\right||a|=\left|\dfrac{1+i}{2}\right||a|=|b|=OB$.
Donc le triangle $OAB$ est isocèle en $B$. De plus, $\left|\dfrac{1+i}{2}\right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Donc $AB=OB=\dfrac{OA}{\sqrt{2}}$. Mais alors
$OB^2+AB^2=\dfrac{OA^2}{2}+\dfrac{OA^2}{2}=OA^2$.
Donc le triangle $OAB$ est rectangle et isocèle en $B$. La proposition 4 est vraie.
- Soit $z$ un nombre complexe non nul.
On a $z'=-\dfrac{10}{\overline{z}}=-\dfrac{10z}{\overline{z}z}=-\dfrac{10}{|z|^2}z$ et donc, puisque $-\dfrac{10}{|z|^2}$ est un réel,
$\overrightarrow{OM'}=-\dfrac{10}{|z|^2}\overrightarrow{OM}$. Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OM'}$ sont colinéaires et donc les points $O$, $M$ et $M'$
sont alignés. La proposition 5 est fausse.