EXERCICE 4 (6 points) (commun à tous les candidats)
Partie A
Soit $u$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $u(x) =x^2- 2 +\ln x$.
- Étudier les variations de $u$ sur $]0,+\infty[$ et préciser ses limites en $0$ et en $+\infty$.
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- Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0,+\infty[$.
On note $\alpha$ cette solution.
- A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
- Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$.
- Montrer l'égalité : $\ln\alpha=2-\alpha^2$.
Partie B
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = x^2+(2-\ln x)^2$.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0,+\infty[$.
- Exprimer, pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, $f'(x)$ en fonction de $u(x)$.
- En déduire les variations de $f$ sur $]0,+\infty[$.
Partie C
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O ;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$, on note :
- $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ;
- $A$ le point de coordonnées $(0,2)$ ;
- $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $]0,+\infty[$.
- Montrer que la distance $AM$ est donnée par $AM=\sqrt{f(x)}$.
- Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=\sqrt{f(x)}$.
- Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0,+\infty[$.
- Montrer que la distance $AM$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté $P$, dont on précisera les coordonnées.
- Montrer que $AP=\alpha\sqrt{1+\alpha^2}$.
- Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise
en compte dans l'évaluation.
La droite $(AP)$ est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en $P$ ?