Liban 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4


Partie A

    • La fonction $u$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ et pour tout réel $x>0$,
      $u'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$.

      Pour tout réel strictement positif $x$, $u'(x)>0$ et donc la fonction $u$ est donc strictement croissante sur $]0,+\infty[$.


    • $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln x=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}(x^2-2)=-2$. En additionnant, on obtient $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}u(x)=-\infty$.

    • $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(x^2-2)=+\infty$. En additionnant, on obtient $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}u(x)=+\infty$.

    1. La fonction $u$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$.

      Donc pour tout réel $k$ de $\left]\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}f(x),\dlim{x}{+\infty}f(x)\right[=]-\infty,+\infty[$, l'équation $u(x)=0$ admet une solution et une seule dans $]0,+\infty[$. En particulier, l'équation $u(x)=0$ admet une solution unique dans $]0,+\infty[$.


    2. La machine donne $u(1,31)=-0,01\ldots< 0$ et $u(1,32)=0,02\ldots>0$. Donc, $u(1,31)< u(\alpha)< u(1,32)$ et puisque la fonction $u$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$

      $1,31< \alpha< 1,32$.


  3. Pour $x\in]0,\alpha[$, on a $u(x)u(\alpha)$ ou encore $u(x)>0$. Donc,

    la fonction $u$ est strictement négative sur $]0,\alpha[$, strictement positive sur $]\alpha,+\infty[$ et s'annule en $\alpha$.


  4. L'égalité $u(\alpha)=0$ s'écrit $\alpha^2-2+\ln\alpha=0$ ou encore $\ln\alpha=2-\alpha^2$.

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ et pour tout réel $x>0$, \begin{align*} f'(x)&=2x+2\times\left(-\dfrac{1}{x}\right)\times(2-\ln x)=2x-\dfrac{2(2-\ln x)}{x}=\dfrac{2x^2-2(2-\ln x)}{x}=\dfrac{2(x^2-2+\ln x)}{x}\\ &=\dfrac{2u(x)}{x}. \end{align*}

  2. Pour tout réel $x>0$, $\dfrac{2}{x}>0$. Donc, pour tout réel $x>0$, $f'(x)$ est du signe de $u(x)$. D'après la question 3 de la partie A, la fonction $f'$ est strictement négative sur $]0,\alpha[$ et strictement positive sur $]\alpha,+\infty[$. On en déduit que

    la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0,\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha,+\infty[$.


Partie C

  1. Soit $x>0$.
    $AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}=\sqrt{(x-0)^2+(\ln x-2)^2}=\sqrt{x^2+(2-\ln x)^2}=\sqrt{f(x)}$.

    1. Pour tout réel $x>0$, $f(x)\geqslant x^2>0$. Donc la fonction $f$ est strictement positive sur $]0,+\infty[$. On en déduit que la fonction $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ puis que pour tout réel $x>0$, $g'(x)=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$. Mais pour tout réel $x>0$, $\dfrac{1}{2\sqrt{f(x)}}>0$ et donc, pour tout réel $x>0$, $g'(x)$ est du signe de $f'(x)$. Par suite, les fonction $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0,+\infty[$.

    2. D'après la question 2 de la partie B, la fonction $f$ admet un minimum sur $]0,+\infty[$ atteint en $\alpha$. Puisque les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0,+\infty[$, la distance $AM$ est minimale quand l'abscisse de $M$ est égale à $\alpha$ et donc quand le point $M$ est le point $P$ de coordonnées $(\alpha,\ln\alpha)$.

    3. D'après la question 4 de la partie A, on a $\ln\alpha=2-\alpha^2$ et donc
      $AP=\sqrt{f(\alpha)}=\sqrt{\alpha^2+(2-\ln\alpha)^2}=\sqrt{\alpha^2+(\alpha^2)^2}=\sqrt{\alpha^2(1+\alpha^2)}=\alpha\sqrt{1+\alpha^2}$ (car $\alpha>0$ et donc $\sqrt{\alpha^2}=\alpha$).

      $AP=\alpha\sqrt{1+\alpha^2}$.


  3. Le coefficient directeur de la droite $(AP)$ est $a=\dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A}=\dfrac{\ln\alpha-2}{\alpha}$. D'autre part, le coefficient directeur de la tangente à $\Gamma$ en $P$ est $a'=\ln'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha}$. D'après la question 4) de la partie A,
    $a\times a'=\dfrac{\ln\alpha-2}{\alpha}\times\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{\ln\alpha-2}{\alpha^2}=\dfrac{-\alpha^2}{\alpha^2}=-1$,

    et donc

    la droite $(AP)$ est perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en $P$.

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