Polynésie 2010. Enseignement de spécialité

EXERCICE 3

Partie A

1. Le couple $(x_0,y_0)=(1,1)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.


2. Soit $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs. $7x-6y=1\Rightarrow7x-6y=7x_0-6y_0\Rightarrow7(x-x_0)=6(y-y_0)$.

   Mais alors, puisque l'entier $7$ divise l'entier $7(x-x_0)$, l'entier $7$ divise l'entier $6(y-y_0)$. Puisque d'autre part, les entiers $6$ et $7$ sont premiers entre eux, le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que l'entier $7$ divise l'entier $y-y_0$. De même, l'entier $6$ divise $x-x_0$. Par suite, il existe des entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que $x-x_0=6k$ et $y-y_0=7k'$ ou encore $x=1+6k$ et $y=1+7k'$.

   Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x=1+6k$ et $y=1+7k'$.

   $7x-6y=1\lra7(1+6k)-6(1+7k')=1\lra42(k-k')=0\lra k=k'$.

   Finalement, les couples d'entiers relatifs solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1+6k,1+7k)$ où $k\in\mbz$.
   Enfin, les entiers relatifs $1+6k$ et $1+7k$ sont positifs si et seulement si $k$ est positif et donc

   les couples d'entiers naturels solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1+6k,1+7k)$ où $k\in\mbn$.

Partie B

1. • Si $m=1$, l'équation $(F)$ s'écrit $7^n=7$ et admet pour unique solution $n=1$.
   • Si $m=2$, l'équation $(F)$ s'écrit $7^n=13$ et n'admet pas de solution.
   • Si $m=3$, l'équation $(F)$ s'écrit $7^n=25$ et n'admet pas de solution.
   • Si $m=4$, l'équation $(F)$ s'écrit $7^n=49$ et admet pour unique solution $n=2$.

   En résumé, il y a exactement deux couples $(n,m)$ solutions de $(F)$ tels que $m\leqslant4$ à savoir $(1,1)$ et $(2,4)$.



2. 1. Si $m\geqslant5$, $2^m=2^{m-5}\times2^5=32\times2^{m-5}$ et donc $2^m\equiv0\;[32]$.
      Par suite, si le couple $(n,m)$ est solution de $(F)$, alors $7^n=1+3\times2^m\equiv1\;[32]$.
   
   
   2. $7^0=1\equiv1\;[32]$. $7^1=7\equiv7\;[32]$, $7^2=49\equiv17\;[32]$.
      Ensuite, $7^3\equiv7\times17\;[32]$ puis $7^3\equiv119\;[32]$ puis $7^3\equiv23\;[32]$.
      Enfin, $7^4\equiv7\times23\;[32]$ puis $7^4\equiv161\;[32]$ puis $7^4\equiv1\;[32]$.

      Posons alors $n=4q+r$ où $r\in\{0,1,2,3\}$ (division euclidienne de $n$ par $4$).
      On a $7^n=7^{4q+r}=(7^4)^q\times7^r$ et donc $7^n\equiv(1^4)^q\times7^r\;[32]$ ou encore $7^n\equiv 7^r\;[32]$.

      Les calculs initiaux montrent que $7^n\equiv 1\;[32]$ si et seulement si $r=0$ ce qui équivaut à $n$ est divisible par $4$.
      Donc, si $(n,m)$ est une solution de $(F)$ telle que $m\geqslant 5$, $n$ est nécessairement un multiple de $4$.

   
   
   3. Posons donc $n=4q$ où $q$ est un entier naturel non nul.
      $7^n=7^{4q}\equiv(2^{4})^q\;[5]$ puis $7^n\equiv16^q\;[5]$ puis $7^n\equiv1^q\;[5]$ et finalement $7^n\equiv1\;[5]$.
   
   
   4. Si $(n,m)$ est un couple d'entiers naturels non nuls solution de $(F)$, alors $3\times2^m=7^n-1$ puis $3\times2^m\equiv0\;[5]$.
      Par suite, le nombre premier $5$ doit diviser l'entier naturel $3\times2^m$ ce qui n'est pas car $5$ n'est pas un facteur premier de $3\times2^m$. Il n'y a donc pas de couple solution tel que $m\geqslant5$.


3. En résumé, l'équation $(F)$ admet exactement deux solutions. Ce sont les couples $(1,1)$ et $(2,4)$.