Polynésie 2010. Enseignement de spécialité

EXERCICE 3 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l'équation $(E)$ : $7x-6y=1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.

1. Donner une solution particulière de l'équation $(E)$.


2. Déterminer 1'ensemble des couples d'entiers naturels solutions de l'équation $(E)$.

Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples $(n,m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation :

1. On suppose $m\leqslant4$. Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions.


2. On suppose maintenant que $m\geqslant5$.
   
   
   1. Montrer que si le couple $(n,m)$ vérifie la relation $(F)$ alors $7^n\equiv1\quad(\text{modulo}\;32)$.
   
   
   2. En étudiant les restes de la division par $32$ des puissances de $7$, montrer que si le couple $(n,m)$ vérifie la relation $(F)$ alors $n$ est divisible par $4$.
   
   
   3. En déduire que si le couple $(n,m)$ vérifie la relation $(F)$ alors $7^n\equiv1\quad(\text{modulo}\;5)$.
   
   
   4. Pour $m\geqslant5$, existe-t-il des couples $(n,m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation $(F)$ ?


3. Conclure, c'est-à-dire déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation $(F)$.