EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
Partie A - Restitution organisée de connaissances
PrérequisSoit $z$ un nombre complexe tel que $z=a + bi$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z}= a - b i$.
Questions.
- Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $\overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul et tout nombre complexe $z$, $\overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$.
Partie B
On considère l'équation $(E)$ : $z^4= -4$ où $z$ est un nombre complexe.
- Montrer que si le nombre complexe $z$ est solution de l'équation $(E)$ alors les nombres complexes $-z$ et $\overline{z}$ sont
aussi solutions de l'équation $(E)$.
- On considère le nombre complexe $z_0 =1+ i$.
- Écrire le nombre complexe $z_0$ sous forme exponentielle.
- Vérifier que $z_0$ est solution de l'équation $(E)$.
- Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l'équation $(E)$.
Partie C
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives :
$$z_A =1 + i,\quad z_B =-1 + i,\quad z_C =-1-i\quad\text{et}\quad z_D =1-i.$$
Soient $E$ et $F$ les points d'affixes respectives :
$$z_E=z_C+e^{-i\frac{\pi}{3}}(z_B-z_D)\quad\text{et}\quad z_F=z_C+e^{-i\frac{\pi}{3}}(z_D-z_C).$$
- Démontrer que l'affixe du point $E$ est égale à $-1 +\sqrt{3}$.
- Déterminer l'affixe $z_F$ du point $F$.
- Démontrer que le quotient $\dfrac{z_A-z_E}{z_A-z_F}$ est un réel.
- Que peut-on en déduire pour les points $A$, $E$ et $F$ ?