EXERCICE 2 (3 points) (commun à tous les candidats)
Des robots se trouvent au centre de gravité $O$ d'un triangle de sommets $S$, $I$ et $X$.
Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante :
- à chaque étape, il passe par l'un des trois sommets $S$, $I$ ou $X$ puis il rejoint le point $O$ ;
- les robots sont programmés de telle sorte que, lors d'une étape, la probabilité de passer par le sommet $S$ est égale à celle de passer par le sommet $X$ et la probabilité
de passer par le sommet $S$ est le double de celle de passer par le sommet $I$ ;
- les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ;
- on ne tient pas compte des passages par le point $O$.
Partie A - Un seul robot
Un seul robot se trouve au point $O$.
- Démontrer qu'à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet $I$ est égale à $\dfrac{1}{5}$.
- On note $E$ l'événement : \og au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les $3$ sommets $S$, $I$, $X$ dans cet ordre \fg.
Démontrer que la probabilité de $E$ est égale à $\dfrac{4}{125}$.
- On note $F$ l'événement : \og au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les sommets $S$, $I$, $X$ dans un ordre quelconque \fg.
Déterminer la probabilité de $F$.
Partie B - Plusieurs robots
Des robots se trouvent au point $O$, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres.
Quel nombre minimal $n$ de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l'événement \og au moins l'un de ces
robots passe successivement par les sommets $S$, $I$, $X$ dans cet ordre \fg~soit supérieure ou égale à $0,99$ ?