Polynesie 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

Partie A - Un seul robot

  1. Notons $p$ la probabilité que le robot passe par le sommet $I$. Alors,
    $1=p(S)+p(I)+p(X)=2p+p+2p=5p$,

    et donc $p=\dfrac{1}{5}$.

    La probabilité qu'un robot passe par le sommet $I$ est $\dfrac{1}{5}$.


  2. Puisque les étapes sont indépendantes les unes des autres, la probabilité que le robot passe par les sommets $S$, $I$ et $X$ dans cet ordre est $\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{5}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{125}$.

    $p(E)=\dfrac{4}{125}$.


  3. Il y a $6$ trajets passant par les sommets $S$, $I$ et $X$ à savoir $SIX$, $SXI$, $ISX$, $IXS$, $XSI$ et $XIS$. Chacun de ces trajets a une probabilité $\dfrac{4}{125}$ et donc $p(F)=6\times\dfrac{4}{125}=\dfrac{24}{125}$.

    $p(F)=\dfrac{24}{125}$.


Partie B - Plusieurs robots

Notons $X$ le nombre de robots passant successivement par les sommets $S$, $I$ et $X$ dans cet ordre. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,

La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{4}{125}$.

La probabilité demandée est $p(X\geqslant1)$ et on a

$p(X\geqslant1)=1-p(X=0)=1-\dbinom{n}{0}\times\left(\dfrac{4}{125}\right)^0\times\left(\dfrac{121}{125}\right)^n=1-\left(\dfrac{121}{125}\right)^n$.

Ensuite,

\begin{align*} 1-\left(\dfrac{121}{125}\right)^n\geqslant0,99&\Leftrightarrow\left(\dfrac{121}{125}\right)^n\leqslant0,01\Leftrightarrow\left(\dfrac{125}{121}\right)^n\geqslant100\;(\text{car la fonction}\;x\mapsto\dfrac{1}{x}\;\text{est décroissante sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Leftrightarrow\ln\left(\left(\dfrac{125}{121}\right)^n\right)\geqslant\ln(100)\;(\text{car la fonction}\;\ln\;\text{est strictement croissante sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Leftrightarrow n\ln\left(\dfrac{125}{121}\right)\geqslant\ln(100)\Leftrightarrow n\geqslant\dfrac{\ln(100)}{\ln\left(\dfrac{125}{121}\right)}\;(\text{car}\;\dfrac{125}{121}>1\;\text{et donc}\;\ln\left(\dfrac{125}{121}\right)>0)\\ &\Leftrightarrow n\geqslant141,5\ldots\Leftrightarrow n\geqslant142\;(\text{car}\;n\;\text{est un entier}). \end{align*}

Le nombre minimal cherché est $142$.