Pondichéry 2010. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2

1. $a^2=b^3\Rightarrow (du)^2=(dv)^3\Rightarrow d^2u^2=d^3v^3\Rightarrow u^2=dv^3$.


2. Puisque $d$ est le PGCD de $a$ et $b$, on sait que $u$ et $v$ sont premiers entre eux.
   L'entier $v$ divise $dv^3=u^2=u\times u$ et l'entier $v$ est premier à $u$. Le théorème de \textsc{Gauss} permet alors d'affirmer que $v$ divise $u$. Par suite, le PGCD de $u$ et $v$ est $v$. Comme ce PGCD est aussi $1$, on a donc $v=1$.


3. Si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier, il existe un entier strictement positif $n$ tel que $a=n^3$ et $b=n^2$. Mais alors $a^2=n^6=b^3$.

   Réciproquement, si $a^2=b^3$, alors d'après la question 2), il existe deux entiers strictement positifs $d$ et $u$ tel que $a=du$ et $b=d$. L'égalité $a^2=b^3$ fournit $d^2u^2=d^3$ et donc $d=u^2$ après simplification par l'entier non nul $d$.
   Par suite, $a=u^3$ et $b=u^2$ ou encore $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.

   On a montré que $a^2=b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont le cube et le carré d'un même entier.



4. Tout entier $a$ est congru modulo $7$ à l'un des entiers $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$ ou aussi à l'un des entiers $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ ou $3$. De plus, $0^2\equiv0\;[7]$. $1^2\equiv1\;[7]$. $2^2\equiv4\;[7]$. $3^2\equiv2\;[7]$, $(-1)^2\equiv1\;[7]$, $(-2)^2\equiv4\;[7]$ et $(-3)^2\equiv2\;[7]$.
   En résumé, pour tout entier strictement positif $a$, on a $a^2\equiv0\;[7]$ ou $a^2\equiv1\;[7]$ ou $a^2\equiv2\;[7]$ ou $a^2\equiv4\;[7]$.

   De même, $0^3\equiv0\;[7]$. $1^3\equiv1\;[7]$. $2^3\equiv1\;[7]$. $3^3\equiv6\;[7]$, $(-1)^3\equiv6\;[7]$, $(-2)^3\equiv6\;[7]$ et $(-3)^3\equiv1\;[7]$.
   En résumé, pour tout entier strictement positif $b$, on a

   $b^3\equiv0\;[7]$ ou $b^3\equiv1\;[7]$ ou $b^3\equiv6\;[7]$.

   Si de plus, $a^2=b^3=n$, alors on a nécessairement $n\equiv 0\;[7]$ ou $n\equiv1\;[7]$.



5. 1. Soient $x$ et $y$ deux entiers strictement positifs. \begin{align*} x^2y^2=25^3&\Leftrightarrow (xy)^2=5^6\Leftrightarrow xy=5^3\\ &\Leftrightarrow (x=1\;\text{et}\;y=5^3)\;\text{ou}\;(x=5\;\text{et}\;y=5^2)\;\text{ou}\;(x=5^2\;\text{et}\;y=5)\;\text{ou}\;(x=5^3\;\text{et}\;y=1). \end{align*}

      Il ya quatre couples d'entiers strictement positifs tels que $x^2\times y^2=25^3$ à savoir $(1,125)$, $(5,25)$, $(25,5)$ et $(125,1)$.

   
   
   2. Soient $x$ et $y$ deux entiers strictement positifs. $x^2y^2=2010^3\Leftrightarrow xy=\sqrt{2010^3}=\nombre{90114,3}\ldots$ Le problème n'a donc pas de solution.