EXERCICE 2 (5 points)
On se propose d'étudier des couples $(a,b)$ d'entiers strictement positifs, tels que :
$$a^2=b^3.$$
Soit $(a,b)$ un tel couple et $d =\text{PGCD}(a, b)$. On note u et v les entiers tels que $a=du$ et $b = dv$.
- Montrer que $u^2 =dv^3$.
- En déduire que $v$ divise $u$, puis que $v = 1$.
- Soit $(a,b)$ un couple d'entiers strictement positifs.
Démontrer que l'on a $a^2 =b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que si $n$ est le carré d'un nombre entier naturel et le cube d'un autre entier, alors $n\equiv0\;[7]$ ou $n\equiv1\;[7]$.
-
- Déterminer tous les couples $(x,y)$ d'entiers naturels tels que $x^2\times y^2=25^3$.
- Déterminer tous les couples $(x,y)$ d'entiers naturels tels que $x^2\times y^2=2010^3$.