Pondichéry 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (4 points) (commun à tous les candidats

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n + n - 2$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.


2. 1. Démontrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 4$, $u_n\geqslant 0$.
   
   
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant5$, $u_n\geqslant n - 3$.
   
   
   3. En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.


3. On définit la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n = -2u_n +3n-\dfrac{21}{2}$.
   
   
   1. Démontrer que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
   
   
   2. En déduire que : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$
   
   
   3. Soit la somme $S_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k$.
      Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.