Pondichéry 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. • $u_1=\dfrac{1}{3}u_0+0-2=\dfrac{1}{3}-2=-\dfrac{5}{3}$.
   
   
   • $u_2=\dfrac{1}{3}u_1+1-2=-\dfrac{5}{9}-1=-\dfrac{14}{9}$.
   
   
   • $u_3=\dfrac{1}{3}u_2+2-2=-\dfrac{14}{27}$.

   $u_1=-\dfrac{5}{3}$, $u_2=-\dfrac{14}{9}$ et $u_3=-\dfrac{14}{27}$.



2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier $n\geqslant4$, $u_n\geqslant0$.
      
      
      • $u_4=\dfrac{1}{3}u_3+3-2=-\dfrac{14}{81}+1=\dfrac{67}{81}\geqslant0$. L'inégalité est donc vraie quand $n=4$.
      
      
      • Soit $n\geqslant4$. Supposons que $u_n\geqslant0$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2\geqslant\dfrac{1}{3}\times0+4-2\geqslant0$.

      On a montré par récurrence que

      pour tout entier naturel $n\geqslant4$, $u_n\geqslant0$.

   
   
   2. Soit $n\geqslant5$. Alors $n-1\geqslant4$ et d'après la question précédente $u_n=\dfrac{1}{3}u_{n-1}+(n-1)-2=\dfrac{1}{3}u_{n-1}+n-3\geqslant n-3$.

      Pour tout entier naturel $n\geqslant5$, $u_n\geqslant n-3$.

   
   
   3. Puisque $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(n-3)=+\infty$, on en déduit que

      $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$.



3. 1. On a déjà $v_0=-2u_0+3\times0-\dfrac{21}{2}=-2-\dfrac{21}{2}=-\dfrac{25}{2}$. Soit alors $n$ un entier naturel. \begin{align*} v_{n+1}&=-2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2}=-2\left(\dfrac{1}{3}u_n+n-2\right)+3n-\dfrac{15}{2}=-\dfrac{2}{3}u_n+n-\dfrac{7}{2}\\ &=\dfrac{1}{3}\left(-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}\right)=\dfrac{1}{3}v_n. \end{align*}

      La suite $(v_n)_{n\in\mbn}$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=-\dfrac{25}{2}$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$.

   
   
   2. Soit $n$ un entier naturel. D'après la question a), $v_n=v_0\times q^n=-\dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ puis $u_n=-\dfrac{1}{2}\left(v_n-3n+\dfrac{21}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-3n+\dfrac{21}{2}\right)=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$.

      Pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$.

   
   
   3. Soit $n$ un entier naturel. \begin{align*} S_n&=\left(\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^0+\dfrac{3}{2}\times0-\dfrac{21}{4}\right)+\left(\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^1+\dfrac{3}{2}\times1-\dfrac{21}{4}\right)+\ldots+\left(\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}\times n-\dfrac{21}{4}\right)\\ &=\dfrac{25}{4}\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^0+\left(\dfrac{1}{3}\right)^1+\ldots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right)+\dfrac{3}{2}(0+1+\ldots+n)-\dfrac{21}{4}(n+1)\\ &=\dfrac{25}{4}\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{21}{4}(n+1) =\dfrac{25}{4}\times\dfrac{3}{2}\times\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)+\dfrac{3}{4}n^2+\dfrac{3}{4}n-\dfrac{21}{4}n-\dfrac{21}{4}\\ &=\dfrac{3}{4}n^2-\dfrac{9}{2}n+\dfrac{33}{8}-\dfrac{75}{8}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}=\dfrac{3}{4}n^2-\dfrac{9}{2}n+\dfrac{33}{8}-\dfrac{25}{8}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} \end{align*}

      Pour tout entier naturel $n$, $S_n=\dfrac{3}{4}n^2-\dfrac{9}{2}n+\dfrac{33}{8}-\dfrac{25}{8}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$.