Réunion 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 (4 points) (commun à tous les candidats)

Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Partie I :

On dispose d'un dé cubique $A$ parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.

1. Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires.


2. Soit l'événement $C$ : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg.
   Démontrer que la probabilité de l'événement $C$ est égale à $\dfrac{7}{18}$.


3. Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes.


4. À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?

Partie II :

On dispose d'un second dé cubique $B$ équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires.
Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé $B$ ;

• si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé $B$ et on note la couleur de la face obtenue ;
• si la face obtenue est noire, on lance le dé $A$ et on note la couleur de la face obtenue.

1. 1. Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation.
   
   
   2. Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer ?


2. Montrer que la probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$.


3. Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer ?