Réunion 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

Partie I

1. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir une face noire est $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. Puisque les lancers sont effectués de manière indépendante, la probabilité d'obtenir deux faces noires c'est-à-dire une face noire à chaque lancer est $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$.

   La probabilité d'obtenir deux faces noires est $\dfrac{1}{9}$.



2. De même, la probabilité d'obtenir deux faces vertes est $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$ et la probabilité d'obtenir deux faces rouges est $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$. Donc $p(C)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4+1+9}{36}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}$.<§/center>

   $p(C)=\dfrac{7}{18}$.



3. L'événement \og les deux faces obtenues sont de couleurs différentes \fg~est l'événement $\overline{C}$ et $p\left(\overline{C}\right)=1-p(C)=\dfrac{11}{18}$.

   $p\left(\overline{C}\right)=\dfrac{11}{18}$.



4. Notons $V$ l'événement \og les deux faces obtenues sont vertes \fg. La probabilité demandée est $p_C(V)$. Or $p_C(V)=\dfrac{p(V\cap C)}{p(C)}=\dfrac{p(V)}{p(C)}=\dfrac{\dfrac{1}{36}}{\dfrac{7}{18}}=\dfrac{18}{7\times36}=\dfrac{1}{7\times2}=\dfrac{1}{14}$.

   $p_C(V)=\dfrac{1}{14}$.

Partie II

1. 1. On note $V_1$, $V_2$, $N_1$, \ldots, les probabilités d'obtenir une face verte au premier lancer, au deuxième lancer, une face noire au premier lancer \ldots Représentons alors la situation par un arbre. *******************************************
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   2. Puisqu'on a obtenu une face verte au premier lancer, on a relancé le dé B avec une probabilité $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ d'obtenir une face verte au deuxième lancer.

      $p_{V_1}(V_2)=\dfrac{2}{3}$.



2. La probabilité demandée est $p\left(V_1\cap V_2\right)$. Or $p\left(V_1\cap V_2\right)=p(V_1)\times p_{V_1}(V_2)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$.


3. La probabilité demandée est $p(V_2)$. D'après la formule des probabilités totales, $p(V_2)=p(V_1\cap V_2)+p(N_1\cap V_2)$.
   On sait déjà que $p(V_1\cap V_2)=\dfrac{4}{9}$. Ensuite, $p(N_1\cap V_2)=p(N_1)\times p_{N_1}(V_2)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}$.

   Finalement, $p(V_2)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2}$.

   La probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer est $\dfrac{1}{2}$.