Réunion 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

Partie A :

On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions $f$, définies et dérivables sur l'intervalle $]0;+\infty[$, vérifiant la condition $(E)$ :

1. Montrer que si une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$, vérifie la condition $(E)$, alors la fonction définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ vérifie : pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $g'(x)=e^{2x}$.


2. En déduire l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle $]0; +\infty[$ qui vérifient la condition $(E)$.


3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ qui vérifie la condition $(E)$ et qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$ ?

Partie B :

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $h(x)=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{e}{2}x$.
On désigne par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif $x$, le signe de $h(x)$.


2. 1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ de sorte que la fonction $x\mapsto(ax+b)e^{2x}$ soit une primitive de la fonction $x\mapsto xe^{2x}$ sur $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$.
      Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}xe^{2x}\;dx$ et en déduire $\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}h(x)\;dx$.
   
   
   2. En déduire, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire de la partie du plan située en dessous de l'axe des abscisses et au dessus de la courbe $C$.