Réunion 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

Partie A :

1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]0,+\infty[$. De plus, pour $x>0$, $g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\dfrac{x^2e^{2x}}{x^2}=e^{2x}$.


2. Mais alors, il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x>0$, $g(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$ puis $f(x)=xg(x)=\dfrac{1}{2}xe^{2x}+Cx$. En résumé, si $f$ vérifie la condition $(E)$ alors il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x>0$, $f(x)= \dfrac{1}{2}xe^{2x}+Cx$.

   Réciproquement, s'il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x>0$, $f(x)= \dfrac{1}{2}xe^{2x}+Cx$, alors la fonction $f$ est définie et dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour $x>0$,

   $xf'(x)-f(x)=x\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}+xe^{2x}+C\right)-\left(\dfrac{1}{2}xe^{2x}+Cx\right)=x^2e^{2x}+\dfrac{1}{2}xe^{2x}+Cx-\dfrac{1}{2}xe^{2x}-Cx=x^2e^{2x}$,

   et donc la fonction $f$ vérifie la condition $(E)$.

   Les fonctions $f$ vérifiant la condition $(E)$ sont les fonctions définies sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}xe^{2x}+Cx$ où $C$ est un réel.



3. Soient $C$ un réel puis $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par : pour tout réel $x>0$, $f(x)=\dfrac{1}{2}xe^{2x}+Cx$.
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0\lra\dfrac{1}{2}\times\dfrac{e}{2}+\dfrac{C}{2}=0\lra C=-\dfrac{e}{2}$.

La fonction définie et dérivable sur $]0,+\infty[$ qui vérifie la condition $(E)$ et qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$ est la fonction définie pour tout réel $x>0$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{e}{2}x$.

Partie B

1. On sait déjà que $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$. Ensuite, pour tout réel $x\geqslant0$, $h(x)=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{e}{2}x=\dfrac{x}{2}(e^{2x}-e)$.

   Pour tout réel $x>0$, on a $\dfrac{x}{2}>0$ et donc, pour tout réel $x>0$, $h(x)$ est du signe de $e^{2x}-e$. Or

   \begin{align*} e^{2x}-e>0&\lra e^{2x}>e^1\lra 2x>1\;(\text{car la fonction exponentielle est strictement croissante sur}\;\mathbb{R})\\ &\lra x>\dfrac{1}{2}. \end{align*}

   Enfin, $h(0)=0$ et finalement

   la fonction $h$ est strictement négative sur $\left]0,\dfrac{1}{2}\right[$, strictement positive sur $\left]\dfrac{1}{2},+\infty\right[$ et s'annule en $0$ et $\dfrac{1}{2}$.



2. 1. Pour tout réel $x$ de $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$, posons $F(x)=(ax+b)e^{2x}$. $F$ est dérivable sur $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$ et pour tout réel $x$ de $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$
   $$F'(x)=ae^{2x}+(ax+b)\times2e^{2x}=(2ax+a+2b)e^{2x}.$$

   Ensuite,

   \begin{align*} \text{pour tout réel}\;x\;\text{de}\;\left[0,\dfrac{1}{2}\right],\;F'(x)=xe^{2x}&\Leftrightarrow\text{pour tout réel}\;x\;\text{de}\;\left[0,\dfrac{1}{2}\right],\;(2ax+a+2b)e^{2x}=xe^{2x}\\ &\Leftrightarrow\text{pour tout réel}\;x\;\text{de}\;\left[0,\dfrac{1}{2}\right],\;2ax+a+2b=x\\ &\Leftarrow2a=1\;\text{et}\;a+2b=0\\ &\Leftarrow a=\dfrac{1}{2}\;\text{et}\;b=-\dfrac{1}{4}. \end{align*}

   Une primitive de la fonction $x\mapsto xe^{2x}$ est la fonction $x\mapsto\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\right)e^{2x}$. On en déduit que

   \begin{align*} \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}xe^{2x}\;dx&=\left[\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\right)e^{2x}\right]_0^{\frac{1}{2}}=0-\left(-\dfrac{1}{4}\right)e^0\\ &=\dfrac{1}{4}. \end{align*}

   Par linéarité de l'intégrale, on en déduit que

   $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)\;dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}xe^{2x}\;dx-\dfrac{e}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}x\;dx=\dfrac{1}{8}-\dfrac{e}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{e}{16}=\dfrac{2-e}{16}$.

   $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)\;dx=\dfrac{2-e}{16}$.

   
   
   2. D'après la question 1), la fonction $h$ est négative sur $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$. L'aire demandée est donc $-\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}h(x)\;dx=\dfrac{e-2}{16}=0,04\ldots$.