Rochambeau 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

1. D'après le résultat admis par l'énoncé, \begin{align*} z_E&=z_A+e^{i\frac{\pi}{3}}(z_D-z_A)=z_A+\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)(z_D-z_A)\\ &=i+\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1-i)=i+\dfrac{1}{2}-\dfrac{i}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ &=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+i\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1+i). \end{align*}

   $z_E=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1+i)$.



2. $z_{D'}=\dfrac{2z_D-i}{iz_D+1}=\dfrac{2-i}{i+1}=\dfrac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2-2i-i-1}{1^2+1^2}=\dfrac{1-3i}{2}$.

   $z_{D'}=\dfrac{1-3i}{2}$.



3. 1. Soit $z$ un nombre complexe différent de $i$. $(z'+2i)(z-i)=\left(\dfrac{2z-i}{iz+1}+2i\right)(z-i)=\dfrac{2z-i-2z+2i}{iz+1}(z-i)=\dfrac{i(z-i)}{iz+1}=\dfrac{iz+1}{iz+1}=1$.

      Pour tout $z\neq i$, $(z'+2i)(z-i)=1$.

   
   
   2. Soient $z$ un nombre complexe différent de $i$ puis $M$ le point d'affixe $z$.
      $BM'\times AM=|z'-z_B|\times|z-z_A|=|z'+2i|\times|z-i|=|(z'+2i)(z-i)|=|1|=1$ puis il existe un entier relatif $k$ tel que \begin{align*} \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BM'}\right)&=\text{arg}\left(z_{\overrightarrow{BM'}}\right)+2k\pi= \text{arg}(z'+2i)+2k\pi=\text{arg}\left(\dfrac{1}{z-i}\right)+2k\pi=-\text{arg}(z-i)+2k\pi\\ &=-\text{arg}\left(z_{\overrightarrow{AM}}\right)+2k\pi=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)+2k\pi. \end{align*}

      Pour tout $M\neq A$, $BM'\times AM=1$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BM'}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)+2k\pi$, $k\in\mbz$.



4. 1. Puisque le triangle $ADE$ est équilatéral, $AE=AD=|z_D-z_A|=|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.

      Les points $D$ et $E$ sont sur le cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}$.

   
   
   2. $BE'\times AE=1$ et donc $BE'=\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Le point $E'$ est sur le cercle de centre $B$ et de rayon $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

      Ensuite, $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BE'}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AE}\right)+2k\pi$, $k\in\mbz$. On en déduit une construction du point $E'$ :

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5. D'après la question 4), $BD'=\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{AE}=BE'$ et $\left(\overrightarrow{BD'},\overrightarrow{BE'}\right)=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BE'}\right)-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BD'}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AE}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AD}\right)=-\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mbz$.

   Par suite,

   Par suite,

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