Rochambeau 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points)} \textbf{(commun à tous les candidats)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2 cm.
On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
On considère les points $A$ d'affixe $i$, $B$ d'affixe $-2i$ et $D$ d'affixe $1$.
On appelle $E$ le point tel que le triangle $ADE$ soit équilatéral direct. On admet que l'affixe du point $E$ est donnée par :

$$z_E=z_A+e^{i\frac{\pi}{3}}(z_D-z_A).$$

Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ ($z\neq i$) associe le point $M'$ d'affixe $z' $ définie par :

$$z'=\dfrac{2z-1}{iz+1}.$$
  1. Démontrer que le point $E$ a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1+i)$.

  2. Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point $D'$ associé au point $D$ par l'application $f$.

    1. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $i$, $(z'+2i)(z-i)=1$.

    2. En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z$ ($z\neq i$) :

      $BM'\times AM=1$

      et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BM'}\right)= -\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)+ kx2\pi$ où $k$ est un entier relatif.


    1. Démontrer que les points $D$ et $E$ appartiennent au cercle $(C)$ de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}$.

    2. En utilisant les résultats de la question 3b), placer le point $E'$ associé au point $E$ par l'application $f$.
      On laissera apparents les traits de construction.

  5. Quelle est la nature du triangle $BD'E'$ ?