Rochambeau 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

1. On note $R$ l'événement \og la boule tirée est rouge \fg~et $U$ l'événement \og la boule tirée porte le \no1 \fg. L'événement \og la boule tirée est verte \fg~est l'événement $\overline{R}$ et l'événement \og la boule tirée porte le \no2 \fg~est l'événement $\overline{U}$.
   L'énoncé donne $p\left(R\cap U\right)=p(U)=0,2$ et donc $p\left(\overline{U}\right)=1-p(U)=0,8$. L'énoncé donne aussi $p_{\overline{U}}(R)=0,1$. La formule des probabilités totales permet alors d'écrire $p(R)=p\left(R\cap U\right)+p\left(R\cap\overline{U}\right)=p\left(R\cap U\right)+p\left(\overline{U}\right)\times p_{\overline{U}}(R)=0,2+0,8\times0,1=0,28$.

   La probabilité que la boule tirée soit rouge est $0,28$.



2. La probabilité demandée est $p_R\left(\overline{U}\right)$. $p_R\left(\overline{U}\right)=\dfrac{p\left(R\cap\overline{U}\right)}{p(R)}=\dfrac{p\left(\overline{U}\right)\times p_{\overline{U}}(R)}{p(R)}=\dfrac{0,8\times0,1}{0,28}=\dfrac{0,08}{0,28}=\dfrac{8}{28}=\dfrac{2}{7}$.

   La probabilité que la boule tirée porte le \no2 sachant qu'elle est rouge est $\dfrac{2}{7}$.



3. 1. Notons $X$ le nombre de boules rouges obtenues lors des $n$ tirages. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
      
      
      • $n$ expériences identiques et indépendantes (les tirages se faisant avec remise) sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues~:~\og la boule tirée est rouge et porte le \no 1\fg~avec une probabilité $p=0,2$ ou son contraire avec une probabilité $1-p=0,8$.

      La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,2$.

      La probabilité demandée est $p(X\geqslant1)$ et on a

      $p(X\geqslant1)=1-p(X=0)=1-0,8^{n}.$
   
   
   2. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. \begin{align*} p(X\geqslant1)\geqslant0,99&\lra1-0,8^n\geqslant0,99\lra0,8^n\leqslant0,01\\ &\Leftrightarrow\ln\left(0,8^n\right)\leqslant\ln(0,01)\;(\text{par stricte croissance de la fonction}\;\ln\;\text{sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Leftrightarrow n\ln(0,8)\leqslant\ln(0,01)\\ &\Leftrightarrow n\geqslant\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\;(\text{car}\;\ln(0,8)< 0)\\ &\Leftrightarrow n\geqslant20,6\ldots\\ &\Leftrightarrow n\geqslant21\;(\text{car}\;n\;\text{est un entier}). \end{align*}

      La probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages
      est supérieure ou égale à $0,99$ à partir de $n=21$.