EXERCICE 4 (7 points) (commun à tous les candidats)
À tout entier naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f_n(x)=\dfrac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}.$$
On désigne par $C_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormal $\left(0;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
Les courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont données en annexe.
Partie A :
Etude de la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=\dfrac{4e^{x}}{e^{x}+7}$.
Vérifier que pour tout réel $x$, $f_1(x)=\dfrac{4}{1+7e^{-x}}$.
Démontrer que la courbe $C_1$ admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
Démontrer que la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que pour tout réel $x$, $0 < f(x) < 4$.
Déterminer une équation de la tangente $(T_1)$ à la courbe $C_1$ au point $I_1$ d'abscisse $\ln 7$.
Tracer la droite $(T_1)$.
Déterminer une primitive de la fonction $f_1$ sur $\mathbb{R}$.
Calculer la valeur moyenne de $f_1$ sur l'intervalle $[0,\ln 7]$.
Partie B :
Étude de certaines propriétés de la fonction $f_n$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, le point $A\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $C_n$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, la courbe $C_n$ et la droite d'équation $y= 2$ ont un unique point d'intersection dont on précisera l'abscisse.
On note $I_n$ ce point d'intersection.
Déterminer une équation de la tangente $(T_n)$ à la courbe $C_n$ au point $I_n$.
Tracer les droites $(T_2)$ et $(T_3)$.
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n =\displaystyle\dfrac{n}{\ln7}\int_{0}^{\frac{\ln7}{n}}f_n(x)\;dx$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est constante.
ANNEXE
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.