Rochambeau 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

Partie A

1. Soit $x\in\mathbb{R}$. On a $e^x\neq 0$ et $e^x+7\neq0$ puis $$f_1(x)=\dfrac{4e^x}{e^x+7}=\dfrac{4e^x}{e^x\left(1+\dfrac{7}{e^x}\right)}=\dfrac{4}{1+7e^{-x}}.$$

   Pour tout réel $x$, $f_1(x)=\dfrac{4}{1+7e^{-x}}$.



2. 1. • $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x+7=7$. Donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f_1(x)=\dlim{x}{-\infty}\dfrac{4e^x}{e^x+7}=\dfrac{4\times0}{7}=0$. On en déduit que la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe en $-\infty$.
      • $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{-x}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}e^X=0$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}1+7e^{-x}=1$ puis $\dlim{x}{+\infty}f_1(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{4}{1+7e^{-x}}=4$. On en déduit que la droite d'équation $y=4$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.

      $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f_1(x)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_1(x)=4$.

   
   
   2. La fonction $f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$. De plus, pour tout réel $x$, $f_1'(x)=4\dfrac{-(1+7e^{-x})'}{\left(1+7e^{-x}\right)^2}=4\dfrac{-(-7e^{-x})}{\left(1+7e^{-x}\right)^2}=\dfrac{28e^{-x}}{\left(1+7e^{-x}\right)^2}$.

      La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$, on en déduit que la fonction $f_1'$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ puis que

      la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

   
   
   3. Puisque la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, pour tout réel $x$, on a $\displaystyle\lim_{t\rightarrow-\infty}f_1(t)< f_1(x)< \displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}f_1(t)$ ou encore $0< f_1(x)<4$.


3. 1. Une équation de la tangente à la courbe $C_1$ en $I_1$ est $y=f_1'(x_{I_1})(x-x_{I_1})+f_1(x_{I_1})$ avec
      
      
      • $x_{I_1}=\ln7$,
      • $f_1\left(x_{I_1}\right)=\dfrac{4e^{\ln7}}{e^{\ln7}+7}=\dfrac{28}{14}=2$,
      • $f_1'\left(x_{I_1}\right)=\dfrac{28e^{-\ln7}}{\left(1+7e^{-\ln7}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{28}{7}}{\left(1+\dfrac{7}{7}\right)^2}=1$.

      Une équation de la tangente à la courbe $C_1$ en $I_1$ est donc $y=x-\ln7+2$.

      Une équation de la tangente à la courbe $C_1$ en $I_1$ est donc $y=x-\ln7+2$.

   
   
   2. Représentation graphique.


4. 1. La fonction $f_1$ est continue sur $\mbr$ et admet donc des primitives sur $\mathbb{R}$.
      De plus, pour tout réel $x$, $f_1(x)=\dfrac{4(e^x+7)'}{e^x+7}$ avec pour tout réel $x$, $e^x+7>0$. Donc une primitive de $f_1$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $F_1~:~x\mapsto4\ln(e^x+7)$.
   
   
   2. La valeur moyenne de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0,\ln7]$ est : $\dfrac{1}{\ln 7}\dint{0}{\ln 7}f_1(x)\;dx=\dfrac{1}{\ln 7}\left[4\ln\left(e^x+7\right)\right]_0^{\ln7}=\dfrac{4}{\ln7}\left(\ln\left(e^{\ln7}+7\right)-\ln\left(e^0+7\right)\right)=4\dfrac{\ln14-\ln8}{\ln7}$.

      La valeur moyenne de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0,\ln7]$ est $4\dfrac{\ln14-\ln8}{\ln7}$.

Partie B

1. Soit $n$ un entier naturel non nul. $f_n(0)=\dfrac{4e^0}{e^0+7}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$. Donc,

   pour tout entier naturel non nul $n$, le point $A\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $C_n$.



2. 1. Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour tout réel $x$, $f_n(x)=2\Leftrightarrow\dfrac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}=2\Leftrightarrow4e^{nx}=2(e^{nx}+7)\Leftrightarrow2e^{nx}=14\Leftrightarrow e^{nx}=7\Leftrightarrow nx=\ln7\Leftrightarrow x=\dfrac{\ln 7}{n}$.

      $I_n$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{\ln 7}{n},2\right)$.

   
   
   2. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. $x_{I_n}=\dfrac{\ln 7}{n}$, $f\left(x_{I_n}\right)=2$. Ensuite, pour tout réel $x$, $f_n'(x)=4\dfrac{ne^{nx}\left(e^{nx}+7\right)-e^{nx}\left(ne^{nx}\right)}{\left(e^{nx}+7\right)^2}=\dfrac{28ne^{nx}}{(e^{nx}+7)^2}$

   et donc $f'\left(x_{I_n}\right)=\dfrac{28ne^{n\frac{\ln7}{n}}}{\left(e^{n\frac{\ln7}{n}}+7\right)^2}=\dfrac{28n\times7}{\left(7+7\right)^2}=n$.
   Une équation de $T_n$ est donc $y=n\left(x-\dfrac{\ln 7}{n}\right)+2$ ou encore $y=nx-\ln7+2$.

   
   
   3. Graphique.


3. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. \begin{align*} u_n&=\dfrac{4}{(\ln7)/n}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\ln7}{n}}\dfrac{e^{nx}}{e^{nx}+7}\;dx=\dfrac{4}{\ln7}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\ln7}{n}}\dfrac{ne^{nx}}{e^{nx}+7}\;dx=\dfrac{4}{\ln7}\left[\ln\left(e^{nx}+7\right)\right]_0^{\frac{\ln7}{n}}\\ &=\dfrac{4}{\ln7}\left(\ln\left(e^{\ln7}+7\right)-\ln\left(e^0+7\right)\right)=4\dfrac{\ln14-\ln8}{\ln7}. \end{align*}

   Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=4\dfrac{\ln14-\ln8}{\ln7}$.