Antilles Guyane 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

1. Figure.


2. • $JA=|a-i|=|-3-i-i|=|-3-2i|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$.
   • $JB=|b-i|=|-2+4i-i|=|-2+3i|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$.
   • $JC=|c-i|=|3-i-i|=|3-2i|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$.

   En résumé, $JA=JB=JC=\sqrt{13}$ et donc

   le point $J$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ dont le rayon est $\sqrt{13}$.



3. Les coordonnées respectives des points $A$, $H$, $B$ et $C$ sont $(-3,-1)$, $(-2,0)$, $(-2,4)$ et $(3,-1)$.
   Les coordonnées respectives des vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont $(1,1)$ et $(5,-5)$. $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=1\times5+1\times(-5)=0$,

   et donc

   les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.



4. L'affixe $g$ du centre de gravité du triangle $ABC$ est $g=\dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{-3-i-2+4i+3-i}{3}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}i$.


5. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{JG}$ est $g-i=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}i-i=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}i$. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{JH}$ est $h-i=-2-i$.

   Donc $h-i=3(g-i)$ ou encore $\overrightarrow{JH}=3\overrightarrow{JG}$. Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{JH}$ et $\overrightarrow{JG}$ sont colinéaires ou encore les points $G$, $J$ et $H$ sont alignés.



6. 1. On note $k$ l'affixe du point $K$. $k=\dfrac{a+h}{2}=\dfrac{-3-i-2}{2}=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i$.

      L'affixe du point $K$ est $k=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i$.

   
   
   2. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{HA'}$ est $a'-h=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i-(-2)=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}i$.

      L'affixe du vecteur $\overrightarrow{KJ}$ est $i-k=i-\left(-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}i$.

      Ainsi, $a'-h=i-k$ ou encore $\overrightarrow{HA'}=\overrightarrow{KJ}$ et par suite,

      le quadrilatère $KHA'J$ est un parallélogramme.