EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 2 cm pour unité graphique.
On appelle $J$ le point d'affixe $i$.
- On considère les points $A$, $B$, $C$, $H$ d'affixes respectives $a =-3-i$, $b=-2+ 4i$, $c =3-i$ et $h=-2$.
Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
- Montrer que $J$ est le centre du cercle $\mathscr{C}$ circonscrit au triangle $ABC$. Préciser le rayon du cercle $\mathscr{C}$.
- Montrer que les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
Dans la suite de l'exercice, on admet que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle $ABC$.
- On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer l'affixe $g$ du point $G$.
Placer $G$ sur la figure.
- Montrer que le centre de gravité $G$, le centre du cercle circoncscrit $J $ et l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ sont
alignés. Le vérifier sur la figure.
- On note $A'$ le milieu de $[BC]$ et $K$ celui de $[AH]$. Le point $A'$ a pour affixe $a'=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i$.
- Déterminer l'affixe du point $K$.
- Démontrer que le quadrilatère $KHA'J$ est un parallélogramme.