Antilles Guyane 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 (6 points) (commun à tous les candidats)

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0; +\infty[$ par
    $f(x)=xe^x-1.$
    1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ et étudier le sens de variation de $f$.

    2. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$.
      Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

    3. Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.

  2. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle et $\Gamma$ celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)$.
    Les courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma$ sont données en annexe.

    Soit $x$ un nombre réel strictement positif. On note $M$ le point de $\mathscr{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$.

    On rappelle que pour tout réel $x$ strictement positif, $e^x >\ln(x)$.

    1. Montrer que la longueur $MN$ est minimale lorsque $x =\alpha$. Donner une valeur approchée de cette longueur minimale à $10^{-2}$ près.

    2. En utilisant la question 1, montrer que $e^\alpha=\dfrac{1}{\alpha}$. En déduire que la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $\alpha$ et la tangente à $\Gamma$ au point d'abscisse $\alpha$ sont parallèles.

    1. Soit $h$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $h(x)=x\ln(x)-x$. Montrer que la fonction $h$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur $]0,+\infty[$.

    2. Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'aire (exprimée en unités d'aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en \textbf{annexe 1}.

    4. FEUILLE ANNEXE

    Annexe 1, exercice 2

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