Explication 1. On note $X$ le nombre de fois où le tireur atteint la cible en $n$ tentatives. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,3$.
La probabilité demandée est $p(X\geqslant1)$. Or,
puis
\begin{align*} p_n\geqslant0,9&\Leftrightarrow1-(0,7)^n\geqslant0,9\Leftrightarrow(0,7)^n\leqslant0,1\Leftrightarrow\left(\dfrac{7}{10}\right)^n\leqslant\dfrac{1}{10}\\ &\Leftrightarrow\left(\dfrac{10}{7}\right)^n\geqslant10\;(\text{car la fonction inverse est strictement décroissante sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Leftrightarrow\ln\left(\left(\dfrac{10}{7}\right)^n\right)\geqslant\ln(10)\;(\text{car la fonction}\;\ln\;\text{est strictement croissante sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Leftrightarrow n\ln\left(\dfrac{10}{7}\right)\geqslant\ln(10)\Leftrightarrow n\geqslant\dfrac{\ln(10)}{\ln\left(\dfrac{10}{7}\right)}\;(\text{car}\;\dfrac{10}{7}>1\;\text{et donc}\;\ln\left(\dfrac{10}{7}\right)>0)\\ &\Leftrightarrow n\geqslant6,4\ldots\Leftrightarrow n\geqslant7\;(\text{car}\;n\;\text{est entier}). \end{align*}La bonne réponse est la réponse b).
Explication 2. La probabilité demandée est $p(X\geqslant10000)$.
\begin{align*} p(X\geqslant10000)&=1-p(X\leqslant10000)=1-\dint{0}{10000}\lambda e^{-\lambda x}\;dx\\ &=1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^{10000}=1-\left(1-e^{-0,0002\times10000}\right)\\ &=e^{-2}=0,135\;\text{au millième près}. \end{align*}La bonne réponse est la réponse b).
Explication 3. On note $X$ le nombre de fois où le joueur perd en $5$ lancers. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
La probabilité demandée est $p(X=3)$. La calculatrice fournit
La bonne réponse est la réponse a).
Explication 4. Puisque les événements $A$ et $B$ sont indépendants, $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)=0,3\;p(B)$. Ensuite,
\begin{align*} p(A)+p(B)-P(A\cap B)=p(A\cup B)&\Rightarrow0,3+p(B)-0,3\;p(B)=0,65\\ &\Rightarrow0,7\;p(B)=0,35\\ &\Rightarrow p(B)=\dfrac{0,35}{0,7}\Rightarrow p(B)=0,5. \end{align*}La bonne réponse est la réponse a).