EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
Étude d'une fonction $f$. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par :
$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$.
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).
Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
En déduire les variations de la fonction $f$.
Étude d'une fonction $g$. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par :
$g(x)=\dfrac{(\ln x)^2}{x}$.
On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
Déterminer la limite de $g$ en $0$, puis en $+\infty$. Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation : $\dfrac{(\ln x)^2}{x}=4\left(\dfrac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2$.
Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées.
Étudier la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
Tracer sur le graphique de l'annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe $\mathscr{C}_g$.
On désigne par $\mathscr{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée, d'une part par
les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, et d'autre part par les droites d'équations respectives $x=1$ et $x =e$.
En exprimant l'aire $\mathscr{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, calculer l'aire $\mathscr{A}$.