Asie 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

1. Etude d'une fonction $f$.
   
   1. Limite de $f$ en $0$. $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln x=-\infty$. En multipliant, on obtient $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}f(x)=\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{1}{x}\times\ln x=-\infty$.

      Limite de $f$ en $+\infty$. D'après un théorème de croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.

      $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$.

   
   
   2. $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]0,+\infty[$ et pour tout réel $x>0$, $f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.

      Pour tout réel $x>0$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.

   
   
   3. Pour tout $x>0$, on a $x^2>0$ et donc $f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$ sur $]0,+\infty[$.

      Or, pour $x>0$, $1-\ln x>0\lra\ln x< 1\Leftrightarrow x< e^1\Leftrightarrow x< e$ (par stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$) et de même $1-\ln x=0\lra x=e$. On en déduit le tableau de variations de $f$ :



2. Etude d'une fonction $g$.
   
   1. Limite de $g$ en $0$. $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\left(\ln x\right)^2=\dlim{X}{-\infty}X^2=+\infty$. Donc $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}g(x)=\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^2=+\infty$.

      Limite de $g$ en $+\infty$. Soit $x>0$.

      $\dfrac{(\ln x)^2}{x}=\left(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\right)^2=\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}^2\right)}{\sqrt{x}}\right)^2=\left(\dfrac{2\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2=4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2$.

      D'après un théorème de croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$ et donc

      $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} 4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2=0$.

      $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}g(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$.

   
   
   2. $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]0,+\infty[$ et pour tout réel $x>0$, $g'(x)=\dfrac{2\times\dfrac{1}{x}\times\ln x\times x-(\ln x)^2}{x^2}=\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}=\dfrac{(\ln x)(2-\ln x)}{x^2}$.

      Pour tout réel $x>0$, $g'(x)=\dfrac{(\ln x)(2-\ln x)}{x^2}$.

   
   
   3. Pour tout $x>0$, on a $x^2>0$ et donc $g'(x)$ est du signe de $(\ln x)(2-\ln x)$ sur $]0,+\infty[$.
      Le signe de $\ln x$ est connu et d'autre part, comme à la question 1)a), pour $x>0$, $2-\ln x>0\lra x< e^2$ et $2-\ln x=0\lra x=e^2$. On en déduit le signe de $(\ln x)(2-\ln x)$ suivant les valeurs de $x$ :

      On en déduit le tableau de variations de $g$ :



3. 1. Les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$. Soit $x$ un réel strictement positif. \begin{align*} f(x)=g(x)&\Leftrightarrow\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{(\ln x)^2}{x}\Leftrightarrow \ln x=(\ln x)^2\;(\text{car}\;\dfrac{1}{x}\neq0)\\ &\Leftrightarrow(\ln x)^2-\ln x=0\Leftrightarrow(\ln x)(\ln x-1)=0\Leftrightarrow \ln x=0\;\text{ou}\;\ln x=1\\ &\Leftrightarrow x=1\;\text{ou}\;x=e. \end{align*}

      Comme $f(1)=0$ et $f(e)=\dfrac{1}{e}$, les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont exactement deux points communs à savoir les points de coordonnées $\left(1,0\right)$ et $\left(e,\dfrac{1}{e}\right)$.

   
   
   2. La position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ est donnée par le signe de $g(x)-f(x)$. Or pour $x>0$, $g(x)-f(x)=\dfrac{(\ln x)^2}{x}-\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{(\ln x)(\ln x-1)}{x}$.

      Sur $]0,+\infty[$, $g(x)-f(x)$ est du signe de $(\ln x)(\ln x-1)$ qui est donné dans le tableau suivant :

      On en déduit que $\mathscr{C}_f$ est strictement au-dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]0,1[$ et sur $]e,+\infty[$, $\mathscr{C}_f$ est strictement au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]1,e[$ et on retrouve le fait que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent en leurs points d'abscisses $1$ et $e$.

   
   
   3. Graphique.


4. Les fonction $f$ et $g$ sont continues sur $[1,e]$ et de plus, pour tout réel $x$ de $[1,e]$, on a $f(x)\geqslant g(x)$. Donc \begin{align*} \mathscr{A}&=\dint{1}{e}f(x)-\dint{1}{e}g(x)\;dx=\dint{1}{e}\dfrac{1}{x}\times\ln x\;dx-\dint{1}{e}\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^2\;dx=\left[\dfrac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e-\left[\dfrac{(\ln x)^3}{3}\right]_1^e\\ &=\left(\dfrac{(\ln e)^2}{2}-\dfrac{(\ln 1)^2}{2}\right)-\left(\dfrac{(\ln e)^3}{3}-\dfrac{(\ln 1)^3}{3}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}. \end{align*}

   $\mathscr{A}=\dfrac{1}{6}$ unité d'aire.