Asie 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. Restitution organisée de connaissances

   Soient $s$ et $t$ deux réels positifs. Vérifions tout d'abord que $p([t,+\infty[)\neq0$.

   $p([t,+\infty[)=1-p([0,t[)=1-p([0,t])=1-\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx=1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}$.

   On a montré au passage que $F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx=1-e^{-\lambda t}$. Ensuite, comme la fonction exponentielle ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, $p([t,+\infty[)=e^{-\lambda t}\neq0$ puis

   \begin{align*} p_{[t,+\infty[}([t,t+s])&=\dfrac{p((t\leqslant X\leqslant t+s)\cap(X\geqslant t))}{p(X\geqslant t)}=\dfrac{p(t\leqslant X\leqslant t+s)}{1-p(X< t)}=\dfrac{p(t\leqslant X\leqslant t+s)}{1-p(X\leqslant t)}\;(\text{car}\;p(X=t)=0)\\ &=\dfrac{F(t+s)-F(t)}{1-F(t)}\\ &=\dfrac{\left(1-e^{-\lambda(t+s)}\right)-\left(1-e^{-\lambda t}\right)}{1-\left(1-e^{-\lambda t}\right)}=\dfrac{e^{-\lambda t}-e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}}=\dfrac{e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}-\dfrac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}}\\ &=1-e^{-\lambda t-\lambda s+\lambda t}=1-e^{-\lambda s}=F(s). \end{align*}

   En particulier, $p_{[t,+\infty[}([t,t+s])$ est indépendant de $t$.



2. La probabilité demandée est $p(X\geqslant2)$.
   D'après la question précédente, pour tout réel positif $t$, on a $$p(X\geqslant t)=e^{-\lambda t}=e^{-0,2t}$$

   et donc $p(X\geqslant 2)=e^{-0,4}$.



3. La probabilité demandée est $p_{[2,+\infty[}([6,+\infty[)$. $p_{[2,+\infty[}([6,+\infty[)=\dfrac{p((X\geqslant2)\cap(X\geqslant 6))}{p(X\geqslant2)}=\dfrac{p(X\geqslant 6)}{p(X\geqslant2)}=\dfrac{e^{-0,2\times6}}{e^{-0,2\times2}}=\dfrac{e^{-1,2}}{e^{-0,4}}=e^{-0,8}=0,45$ arrondi au centième.


4. 1. Notons $Y$ le nombre de capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années.
      La variable aléatoire $Y$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
      
      
      • $10$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
      • chaque expérience a deux issues~:~\og le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières années \fg~avec une probabilité $p=e^{-0,4}$ (d'après la question 2)) ou \og le capteur tombe en panne au cours des deux premières années \fg~avec une probabilité $1-p=1-e^{-0,4}$.

      La variable aléatoire $Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=e^{-0,4}$.

      La probabilité demandée est $p(Y=2)$. La calculatrice fournit

      $p(Y=2)=\dbinom{10}{2}\times(e^{-0,4})^2(1-e^{-0,4})^8=0,0028217\ldots$.

      Donc $p(Y=2)=0,002822$ arrondi à la sixième décimale.

   
   
   2. La probabilité que tous les capteurs tombent en panne au cours des deux premières années est $p(Y=0)=\dbinom{10}{0}(e^{-0,4})^0(1-e^{-0,4})^{10}=(1-e^{-0,4})^{10}$

      et donc la probabilité qu'au moins un appareil ne tombe pas en panne au cours des deux premières années est

      $p(Y\geqslant1)=1-(1-e^{-0,4})^{10}=0,9999848\ldots$

      Donc, $p(Y\geqslant1)=0,999985$ arrondi à la sixième décimale.