Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)

On considère une droite $D$ munie d'un repère $\left(O,\overrightarrow{i}\right)$.

Soit $(A_n)$ la suite de points de la droite $D$ ainsi définie :

• $A_0$ est le point $O$ ;
• $A_1$ est le point d'abscisse $1$ ;
• pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $[A_nA_{n+1}]$.

1. 1. Placer sur un dessin la droite $D$, les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ et $A_6$.
      On prendra 10 cm comme unité graphique.
   
   
   2. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ l'abscisse du point $A_n$.
      Calculer $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ et $a_6$.
   
   
   3. Pour tout entier naturel $n$, justifier l'égalité : $a_{n+2}=\dfrac {a_{n+1}+a_n}{2}$.


2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n$, $a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}a_n+1$.


3. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=a_n-\dfrac{2}{3}$.
   Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac{1}{2}$.


4. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$, puis celle de la suite $(a_n)$.