Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

1. 1. Représentation graphique.
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
      ***********************************
   
   
   2. • $a_2=\dfrac{1}{2}(a_0+a_1)=\dfrac{1}{2}(0+1)=\dfrac{1}{2}$.
      
      
      • $a_3=\dfrac{1}{2}(a_1+a_2)=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}$.
      
      
      • $a_4=\dfrac{1}{2}(a_2+a_3)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{5}{8}$.
      
      
      • $a_5=\dfrac{1}{2}(a_3+a_4)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{8}\right)=\dfrac{11}{16}$.
      
      
      • $a_6=\dfrac{1}{2}(a_4+a_5)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{8}+\dfrac{11}{16}\right)=\dfrac{21}{32}$.
   
   
   3. Si $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $a$ et $b$, l'affixe du milieu du segment $[AB]$ est $\dfrac{a+b}{2}$. Donc, pour tout entier naturel naturel $n$, $a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_n}{2}$.


2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}a_n+1$.
   
   
   • $-\dfrac{1}{2}a_0+1=1=a_1$ et donc l'égalité est vraie quand $n=0$.
   
   
   • Soit $n\geqslant0$. Supposons que $a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}a_n+1$. Alors $-\dfrac{1}{2}a_n=a_{n+1}-1$ puis $a_n=-2a_{n+1}+2$. Par suite,
   $a_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(a_{n+1}+a_n\right)=\dfrac{1}{2}\left(a_{n+1}-2a_{n+1}+2\right)=\dfrac{1}{2}\left(-a_{n+1}+2\right)=-\dfrac{1}{2}a_{n+1}+1$.

   On a montré par récurrence que

   pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}a_n+1$.



3. Soit $n\in\mathbb{N}$. $v_{n+1}=a_{n+1}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}a_n+1-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(a_n-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}v_n$.

   La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac{1}{2}$.



4. Puisque $\left|-\dfrac{1}{2}\right|< 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=0$. Par suite, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{2}{3}+v_n\right)=\dfrac{2}{3}$.

   $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$.