Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute justification incomplète sera valorisée.
Question 1 On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
Affirmation
Le triangle $ABC$ est un triangle équilatéral.
Question 2 On considère, le nombre complexe : $z=\dfrac{2i}{\sqrt{3}-i}$.
Affirmation
$z=e^{-i\pi/3}$.
Question 3 On considère le nombre complexe $a =\left(-\sqrt{3}+i\right)^{2011}$.
Affirmation
Le nombre complexe $a$ est un nombre imaginaire pur.
Question 4 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un nombre strictement positif.
On rappelle que, pour tout réel $t$ strictement positif, la probabilité de l'événement $(X\leqslant t)$ s'exprime par $P(X\leqslant t)=1-e^{-\lambda t}$.
Affirmation
Sachant que $X\geqslant2$, la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle $[2;3]$ est égale à $1-e^{-\lambda}$.
Question 5 Une urne contient au total $n$ boules dont cinq sont blanches et les autres noires.
On effectue $10$ tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage.
Affirmation
La plus petite valeur de l'entier $n$, pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche sur les $10$ tirages est supérieure ou égale à $0,9999$, est égale à $13$.