Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (commun à tous les candidats)

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par :

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ sont respectivement notées $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$. Leur tracé est donné en annexe.

1. Etude des fonctions $f$ et $g$
   
   
   1. Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $-\infty$.
   
   
   2. Justifier le fait que les fonctions $f$ et $g$ ont pour limite $0$ en $+\infty$.
      Pour cela, on démontrera d'abord que pour tout réel non nul $x$, $f(x)=e\times\dfrac{1}{e^x/x}$ et $g(x)=\dfrac{e}{4}\times\dfrac{1}{\left(\dfrac{e^{x/2}}{x/2}\right)^2}$.
   
   
   3. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$ et dresser leurs tableaux de variations respectifs.


2. Calcul d'intégrales

   Pour tout entier naturel $n$, on définit l'intégrale $I_n$ par :

   $I_n=\displaystyle\int_0^1x^ne^{1-x}\;dx$ (en particulier $I_0=\displaystyle\int_0^1e^{1-x}\;dx$).
   1. Calculer la valeur exacte de $I_0$.
   
   
   2. Pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$, on pose $g_n(x)=x^ne^{1-x}$ (en particulier $g_0(x)=e^{1-x}$).
      Etablir que pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$, $$g_{n+1}'(x)=(n+1)g_n(x)-g_{n+1}(x).$$

      En déduire que pour tout entier naturel $n$ :

      $I_{n+1}=-1+(n+1)I_n$.
   
   
   3. En déduire la valeur exacte de $I_1$, puis celle de $I_2$.


3. Calcul d'une aire plane
   
   
   1. Étudier la position relative des courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$.
   
   
   2. On désigne par $\mathscr{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x =0$ et $x =1$.
      En exprimant $\mathscr{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité : $\mathscr{A}=3-e$.


4. Etude de l'égalité de deux aires

   Soit $a$ un réel strictement supérieur à $1$.
   On désigne par $S(a)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x =1$ et $x =a$.

   On admet que $S(a)$ s'exprime par :

   $S(a)=3-e^{1-a}(a^2+a+1)$.

   L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de $a$ pour laquelle les aires $\mathscr{A}$ et $S(a)$ sont égales.

   1. Démontrer que l'équation $S(a)=\mathscr{A}$ est équivalente à l'équation : $e^a=a^2+a+1$.
   
   
   2. Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel $a$, solution du problème posé.