$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$.
Limite de $g$ en $-\infty$. $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{1-x}=+\infty$. Donc, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2e^{1-x}=+\infty$.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}g(x)=+\infty$.
$\dlim{x}{+\infty}f(x)=0$.
Limite de $g$ en $+\infty$. Soit $x$ un réel non nul $x$.
$$g(x)=x^2\times e\times \dfrac{1}{e^x}=e\times\dfrac{1}{e^x/x^2}=\dfrac{e}{4}\times\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2/4}}=\dfrac{e}{4}\times\dfrac{1}{\dfrac{\left(e^{x/2}\right)^2}{(x/2)^2}}=\dfrac{e}{4}\times\dfrac{1}{\left(\dfrac{e^{x/2}}{x/2}\right)^2}.$$D'après un théorème de croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^{x/2}}{x/2}\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{e^{X}}{X}=+\infty$ puis $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{e^{x/2}}{x/2}\right)^2=+\infty$ puis $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\left(\dfrac{e^{x/2}}{x/2}\right)^2}=0$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{e}{4}\times\dfrac{1}{\left(\dfrac{e^{x/2}}{x/2}\right)^2}=\dfrac{e}{4}\times0=0$.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$.
Pour tout réel $x$, $e^{1-x}>0$ et donc, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $1-x$. En tenant compte de $f(1)=1\times e^0=1$, on en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :
Variations de $g$. La fonction $g$ est dérivable sur $\mbr$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mbr$ et pour tout réel $x$,
Pour tout réel $x$, $e^{1-x}>0$ et donc, pour tout réel $x$, $g'(x)$ est du signe de $x(2-x)$. On en déduit le tableau de variations de le fonction $g$.
$I_0=e-1$.
Intégrons cette égalité. Par linéarité de l'intégrale, on obtient
\begin{align*} (n+1)I_n-I_{n+1}&=(n+1)\displaystyle\int_{0}^{1}g_n(x)\;dx-\displaystyle\int_{0}^{1}g_{n+1}(x)\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\left((n+1)g_n(x)-g_{n+1}(x)\right)\;dx\\ &\displaystyle\int_{0}^{1}g_{n+1}'(x)\;dx=\left[g_{n+1}(x)\right]_0^1=1^{n+1}e^{1-1}-0^{n+1}e^{1-0}\\ &=1. \end{align*}Par suite, $(n+1)I_n-I_{n+1}=1$ puis $I_{n+1}=-1+(n+1)I_n$.
Pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=-1+(n+1)I_n$.
$I_1=e-2$ et $I_2=2e-5$.
Le signe de $f(x)-g(x)$ est donné dans le tableau suivant :
On en déduit que $\mathscr{C}$ est strictement au-dessous de $\mathscr{C}'$ sur $]-\infty,0[$ et sur $]1,+\infty[$, strictement au-dessus de $\mathscr{C}'$ sur $]0,1[$ et $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ se coupent aux points de coordonnées $(0,f(0))$ et $(1,f(1))$ c'est-à-dire $(0,0)$ et $(1,1)$.
$\mathscr{A}=3-e$.
Pour $a\geqslant1$, $h''(a)\geqslant e^1-2>0$. Donc la fonction $h'$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$.
Puisque la fonction $h'$ est continue et strictement croissante sur $[1,+\infty[$, on sait que pour tout réel $k$ de $\left[h'(1),\dlim{a}{+\infty}h'(a)\right[$, l'équation $h'(a)=k$ admet une solution et une seule dans $[1,+\infty[$.
En particulier, puisque $\displaystyle\lim_{a\rightarrow+\infty}h'(a)=\displaystyle\lim_{a\rightarrow+\infty}e^a-2a-1=\displaystyle\lim_{a\rightarrow+\infty}e^a\left(1-2\dfrac{a}{e^a}-\dfrac{1}{e^a}\right)=+\infty>0$ et que d'autre part $h'(1)=e-2-1=e-3< 0$, il existe un unique réel $\alpha$ de $[1,+\infty[$ et même $]1,+\infty[$ tel que $h'(\alpha)=0$.
Puisque la fonction $h'$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$, on en déduit que la fonction $h'$ est strictement négative sur $[1,\alpha[$ et strictement positive
sur $]\alpha,+\infty[$ puis que la fonction $h$ est strictement décroissante sur $[1,\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha,+\infty[$.
Puisque $h(1)=e-3<0$ et que $h$ est strictement décroissante sur $[1,\alpha]$, pour tout réel $a$ de $[1,\alpha]$, on a $h(a)<0$. En particulier, pour tout réel $a$ de $[1,\alpha]$, on a $h(a)\neq0$ et d'autre part, $h(\alpha)<0$.
Ensuite, la fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $[\alpha,+\infty[$.
On en déduit que pour tout réel $k$ de $\left[h(\alpha),\displaystyle\lim_{a\rightarrow+\infty}h(a)\right[$, l'équation $h(a)=k$ admet une unique solution dans $[\alpha,+\infty[$. En particulier, puisque $\displaystyle\lim_{a\rightarrow+\infty}h(a)=\displaystyle\lim_{a\rightarrow+\infty}e^a\left(1-\dfrac{a^2}{e^a}-\dfrac{a}{e^a}-\dfrac{1}{e^a}\right)=+\infty>0$ et que $h(\alpha)< 0$, l'équation $h(a)=0$ admet une unique solution dans $[\alpha,+\infty[$.
En résumé, l'équation $h(a)=0$ admet une unique solution dans $[1,+\infty[$ ou encore l'équation $S(a)=\mathscr{A}$ admet une unique solution $a_0$ dans $[1,+\infty[$. On peut montrer que $1,79< a_0< 1,80$.