France métropolitaine 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 2
  1. Réponse 3

  2. Réponse 4

  3. Réponse 2

  4. Réponse 3

Explication 1. Les points $A$, $D$ et $E$ ont pour coordonnées respectives $(1,0)$, $(0,-1)$ et $\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ont pour coordonnées respectives $(-1,-1)$ et $\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$.

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AE}=(-1)\times\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}+(-1)\times\left(-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2}=1$.

$\left\|\overrightarrow{AD}\right\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.

$\left\|\overrightarrow{AE}\right\|=\sqrt{\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1-2\sqrt{3}+3+1+2\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{2}$.

Par suite,

$$\cos\left(\widehat{DAE}\right)=\cos\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AE}}{\left\|\overrightarrow{AD}\right\|\left\|\overrightarrow{AE}\right\|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}.$$

On en déduit que $\widehat{DAE}=\dfrac{\pi}{3}$. La bonne réponse est la troisième.

image/svg+xml1 − 11 − 1

Explication 2. Soit $M$ un point du plan dont l'affixe est notée $z$.

$|z+i|=|z-1|\Leftrightarrow|z-z_D|=|z-z_A|\Leftrightarrow MD=MA\Leftrightarrow M\in\text{med}[AD]$.

Donc l'ensemble cherché est la médiatrice du segment $[AD]$. La bonne réponse est la quatrième.

image/svg+xml− 11 − 1

Explication 3. On note $(E)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z+i}{z+1}$ soit un réel.
Soit $M$ un point du plan distinct de $C$ dont l'affixe est notée $z$.
On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. Pour tout $z\neq-1$,

\begin{align*} \dfrac{z+i}{z+1}&=\dfrac{x+iy+i}{x+iy+1}=\dfrac{x+i(y+1)}{(x+1)+iy}=\dfrac{(x+i(y+1))((x+1)-iy)}{((x+1)+iy)((x+1)-iy)}\\ &=\dfrac{x(x+1)-ixy+i(x+1)(y+1)+y(y+1)}{(x+1)^2+y^2}=\dfrac{x(x+1)+y(y+1)}{(x+1)^2+y^2}+i\dfrac{x+y+1}{(x+1)^2+y^2}. \end{align*}

Ensuite,

\begin{align*} M\in(E)&\Leftrightarrow \dfrac{z+i}{z+1}\;\text{réel}\Leftrightarrow \text{Im}\left(\dfrac{z+i}{z+1}\right)=0\\ &\Leftrightarrow \dfrac{x+y+1}{(x+1)^2+y^2}=0\Leftrightarrow x+y+1 =0\;\text{et}\;z\neq-1. \end{align*}

Ensuite, le point $C$ appartient à la droite d'équation $x+y+1=0$ car $-1+0+1=0$.
$(E)$ est donc la droite d'équation $x+y+1=0$ privée du point $C$.

Enfin, $x_D+y_D+1=0-1+1=0$ et donc le point $D$ appartient aussi à la droite d'équation $x+y+1=0$. Cette droite est donc la droite $(CD)$ et finalement $(E)$ est la droite $(CD)$ privée du point $C$.

La bonne réponse est la première.

Explication 4. On note $(E)$ l'ensemble considéré. Le point $B$ d'affixe $i$ n'appartient pas à $(E)$ car $0$ n'a pas d'argument. Soit $M$ un point du plan d'affixe $z\neq i$.

\begin{align*} M\in(E)&\Leftrightarrow \text{il existe un entier relatif}\;k\;\text{tel que}\;\text{arg}(z-i)=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BM}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BM}\right)=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BD}\right)\;[2\pi]\\ &\Leftrightarrow \text{les vecteurs}\;\overrightarrow{BM}\;\text{et}\;\overrightarrow{BD}\;\text{sont colinéaires et de même sens}\Leftrightarrow M\in]BD). \end{align*}

Donc $(E)$ est la demi-droite d'origine $B$ passant par $D$ et privée du point $B$. La bonne réponse est la troisième.