France métropolitaine 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (4 points) (commun à tous les candidats)

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.

Dans un pays, il y a $2\%$ de la population contaminée par un virus.

PARTIE A

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

- La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
- La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note $V$ l'événement \og la personne est contaminée par le virus \fg~et $T$ l'événement \og le test est positif \fg.
$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les événements contraires de $V$ et $T$.

1. 1. Préciser les valeurs des probabilités $P(V)$, $P_V (T)$, $P_{\overline{V}}(T)$.
      Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
   
   
   2. En déduire la probabilité de l'événement $V\cap T$.


2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est $0,0492$.
   1. Justifier par un calcul la phrase :
      \og Si le test est positif, il n'y a qu'environ $40\%$ de \og chances \fg~que la personne soit contaminée \fg.
   
   
   2. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

PARTIE B

On choisit successivement $10$ personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces $10$ personnes.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.


2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les $10$.