France métropolitaine 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

PARTIE A

1. 1. L'énoncé fournit directement

      $p(V)=0,02$, $p_V(T)=0,99$ et $p_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right)=0,97$.

      Représentons la situation par un arbre.

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   2. On en déduit que $p\left(V\cap T\right)=p(V)\times p_V(T)=0,02\times0,99=0,0198$.

      $p\left(V\cap T\right)=0,0198$.



2. La probabilité demandée est $p(T)$. D'après la formule des probabilités totales, $$p(T)=p(T\cap V)+p(T\cap\overline{V}).$$

   D'après la question précédente, $p\left(V\cap T\right)=0,0198$ et d'autre part

   $p(T\cap\overline{V})=p(\overline{V})\times p_{\overline{V}}(T)=(1-p(V))(1-p_{\overline{V}}(\overline{T}))=(1-0,02)(1-0,97)=0,98\times0,03=0,0294 $,

   et donc $p(T)=0,0198+0,0294=0,0492$.

   $p\left(T\right)=0,0492$.



3. 1. La probabilité demandée est $p_T(V)$. Or, $p_T(V)=\dfrac{p(V\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,0198}{0,0492}=0,402\ldots$

      Donc $p_T(V)=0,4$ à $10^{-2}$ près ou encore $p_T(V)=40\%$ à $1\%$ près ce qui justifie la phrase de l'énoncé.

   
   
   2. La probabilité demandée est $p_{\overline{T}}(\overline{V})$. Or, $p_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{p\left(\overline{V}\cap\overline{T}\right)}{p\left(\overline{T}\right)}$.

      Ensuite, d'après la question 2), $p\left(\overline{T}\right)=1-p(T)=1-0,0492=0,9508$ et d'autre part

      $p\left(\overline{V}\cap\overline{T}\right)=p\left(\overline{V}\right)\times p_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right)=0,98\times0,97=0,9506$

      puis $p_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{0,9506}{0,9508}=0,9998$ arrondi à $10^{-4}$.

      $p_{\overline{T}}(\overline{V})=0,9998$ arrondi à $10^{-4}$.

PARTIE B

1. La variable aléatoire $X$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
   
   
   • $10$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
   • chaque expérience a deux issues~:~\og la personne est contaminée par le virus \fg~avec une probabilité $p=0,02$ ou \og la personne n'est pas contaminée par le virus \fg~avec une probabilité $1-p=0,98$.

   La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,02$.



2. La probabilité demandée est $p(X\geqslant2)$. La calculatrice fournit \begin{align*} p(X\geqslant2)&=1-p(X=0)-p(X=1)=1-\dbinom{10}{0}\times0,02^0\times0,98^{10}-\dbinom{10}{0}\times0,02^1\times0,98^{9}\\ &=0,0162\;\text{arrondi à}\;10^{-4}. \end{align*}

   La probabilité qu'au moins deux personnes soient contaminées est $0,0162$ arrondi à $10^{-4}$.