EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)
Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=u_n-\ln(u_n^2+1)\;\text{pour tout entier naturel}\;n.
\end{array}
\right.$.
Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-\ln(x^2+1)$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=x$.
- Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;; 1]$.
En déduire que si $x\in[0\;;1]$ alors $f(x)\in[0\;;1]$.
Partie B
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\in[0\;;1]$.
- Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente. Déterminer sa limite.