Nouvelle Calédonie 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

PARTIE A

1. Soit $x$ un réel. $f(x)=x\Leftrightarrow x-\ln(x^2+1)=x\Leftrightarrow \ln(x^2+1)=0\Leftrightarrow x^2+1=1\Leftrightarrow x^2=0\Leftrightarrow x=0$.

   L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=x$ est $\mathscr{S}=\{0\}$.



2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0,1]$ et pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$.

   Pour tout réel $x$ de $[0,1]$, on a $f'(x)\geqslant0$ et donc la fonction $f$ est croissante sur $[0,1]$.

   Soit alors $x$ un réel. Puisque la fonction $f$ est croissante sur $[0,1]$,

   $0\leqslant x\leqslant1\Rightarrow f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1)\Rightarrow 0\leqslant f(x)\leqslant1-\ln2\Rightarrow 0\leqslant f(x)\leqslant1$ car $1-\ln2=0,3\ldots$

   Pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $f(x)$ appartient à $[0,1]$.

PARTIE B

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\in[0,1]$.
   
   
   • Puisque $u_0=1$, on a $u_0\in[0,1]$ et donc l'encadrement est vrai quand $n=0$.
   • Soit $n\geqslant0$. Supposons que $u_n\in[0,1]$. Alors, d'après la question 2) de la partie A, $u_{n+1}=f(u_n)\in[0,1]$.

   On a montré par récurrence que

   pour tout entier naturel $n$, $u_n\in[0,1]$.



2. Soit $n$ un entier naturel. $u_{n+1}-u_n=(u_n-\ln(u_n^2+1))-u_n=-\ln(u_n^2+1)$.

   Or, $u_n^2+1\geqslant1$ et donc $\ln(u_n^2+1)\geqslant0$ puis $-\ln(u_n^2+1)\leqslant0$ ou encore $u_{n+1}-u_n\leqslant0$.

   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ et donc

   la suite $(u_n)_{n\in\mbn}$ est décroissante.



3. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Donc la suite $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
   Puisque pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant1$, quand $n$ tend vers $+\infty$ on obtient $0\leqslant \ell\leqslant1$.

   Puisque pour tout entier naturel, $u_{n+1}=f(u_n)$, quand $n$ tend vers $+\infty$ on obtient $\ell=f(\ell)$ (par continuité de la fonction $f$ sur $[0,1]$ et donc en $\ell$).
   Ainsi, le réel $\ell$ est une solution de l'équation $f(x)=x$. D'après la question 1) de la partie A, on a donc $\ell=0$.

   La suite $(u_n)$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0$.