Polynésie 2011. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2

1. $u_1=10\times1+21=31$, $u_2=10\times31+21=331$ et $u_3=10\times331+21=3331$.

   $u_1=31$, $u_2=331$ et $u_3=3331$.



2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3u_n=10^{n+1}-7$.
      
      
      • $10^{0+1}-7=10-7=3=3u_0$ et donc, l'égalité est vraie quand $n=0$.
      • Soit $n\geqslant0$. Supposons que $3u_n=10^{n+1}-7$. Alors
      $3u_{n+1}=3(10u_n+21)=10(3u_n)+63=10(10^{n+1}-7)+63=10^{(n+1)+1}-7$.

      Le résultat est démontré par récurrence.

      Pour tout entier naturel $n$, $3u_n=10^{n+1}-7$.

   
   
   2. $10^{n+1}-7=1\underbrace{0\ldots0}_{n+1}-7=\underbrace{9\ldots9}_{n}3$ puis en divisant par $3$, $u_n=\dfrac{10^{n+1}-7}{3}=\underbrace{3\ldots3}_{n}1$.

      Pour tout entier naturel $n$, l'écriture décimale de $u_n$ est $\underbrace{3\ldots3}_{n}1$.



3. $u_2=331$ puis $\sqrt{u_2}=18,1\ldots$ Les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{u_2}$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ et $17$.

   $331$ n'est pas divisible par $2$ car $331$ n'est pas pair.
   $331$ n'est pas divisible par $3$ car la somme de ses chiffres à savoir $7$ ne l'est pas.
   $331$ n'est pas divisible par $5$ car le chiffre des unités n'est ni $0$, ni $5$.
   $\dfrac{331}{7}=47,2\ldots$ et donc $331$ n'est pas divisible par $7$.
   $\dfrac{331}{11}=30,09\ldots$ et donc $331$ n'est pas divisible par $11$.
   $\dfrac{331}{13}=25,4\ldots$ et donc $331$ n'est pas divisible par $13$.
   $\dfrac{331}{17}=19,4\ldots$ et donc $331$ n'est pas divisible par $17$.

   $331$ n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée et donc

   $u_2$ est un nombre premier.



4. Soit $n$ un entier naturel. D'après la question 2)b), le chiffre des unités de $u_n$ est $1$. Donc $u_n$ n'est ni divisible par $2$, ni divisible par $5$.

   Toujours d'après la question 2)b), la somme des chiffres de $u_n$ est $3n+1$. La somme des chiffres de $u_n$ n'est pas divisible par $3$ et on sait alors que $u_n$ n'est pas divisible par $3$.

   Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$.



5. 1. Soit $n$ un entier naturel. $10\equiv-1\;(\text{mod}\;11)$ et donc $10^{n+1}\equiv(-1)^{n+1}\;(\text{mod}\;11)$ ou encore $$10^{n+1}\equiv-(-1)^{n}\;(\text{mod}\;11).$$

      Ensuite, $-7\equiv4\;(\text{mod}\;11)$. D'après la question 2)a), $3u_n=-7+10^{n+1}$ et donc $3u_n\equiv4-(-1)^n\;(\text{mod}\;11)$.

      Pour tout entier naturel $n$, $3u_n\equiv4-(-1)^n\;(\text{mod}\;11)$.

   
   
   2. Si $n$ est pair, $3u_n\equiv3\;(\text{mod}\;11)$ et si $n$ est impair, $3u_n\equiv5\;(\text{mod}\;11)$.
      Comme $3\not\equiv0\;(\text{mod}\;11)$ et $5\not\equiv0\;(\text{mod}\;11)$.

      Ainsi, dans tous les cas, $3u_n\not\equiv0\;(\text{mod}\;11)$ ou encore $3u_n$ n'est pas un multiple de $11$. Il en est de même de $u_n$ car si $u_n$ était un multiple de $11$, il en serait de même de $3u_n$.

      Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ n'est pas divisible par $11$.



6. 1. $10\equiv-7\;(\text{mod}\;17)$ puis $10^2\equiv49\;(\text{mod}\;17)$ puis $10^2\equiv49-3\times17\;(\text{mod}\;17)$ ou encore $10^2\equiv-2\;(\text{mod}\;17)$.
      Ensuite, $10^8\equiv\left(-2\right)^4\;(\text{mod}\;17)$ ou encore $10^8\equiv16\;(\text{mod}\;17)$ ou encore $10^8\equiv-1\;(\text{mod}\;17)$.
      Enfin, $10^{16}\equiv(-1)^2\;(\text{mod}\;17)$ ou encore

      $10^{16}\equiv1\;(\text{mod}\;17)$.

   
   
   2. Soit $k$ un entier naturel. D'après la question 2)a), $3u_{16k+8}=10^{16k+9}-7$.

      D'après la question a), puisque $10^{16k+9}=(10^{16})^k\times10^8\times10$, on a $10^{16k+9}\equiv1^k\times(-1)\times(-7)\;(\text{mod}\;17)$ ou encore

      $10^{16k+9}\equiv7\;(\text{mod}\;17)$.

      Mais alors $10^{16k+9}-7\equiv0\;(\text{mod}\;17)$ ou encore $17$ divise $3u_{16k+8}$.

      Puisque $17$ divise $3u_{16k+8}$ et que $17$ est premier à $3$, le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que $17$ divise $u_{16k+8}$.

      Pour tout entier naturel $k$, $u_{16k+8}$ est divisible par $17$.