Polynésie 2011. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2 (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ d'entiers naturels définie par :

$u_0 =1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=10u_n +21$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $3u_n =10^{n+1}-7$.

    2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'écriture décimale de $u_n$
      3. ·
  3. Montrer que $u_2$ est un nombre premier.

    On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite} $(u_n)$ par certains nombres premiers.

  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $3u_n\equiv -(-1)^n\;(\text{modulo}\;11)$.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ n'est pas divisible par $11$.

    1. Démontrer que $10^{8}\equiv-1\;(\text{modulo}\;17)$ puis que $10^{16}\equiv1\;(\text{modulo}\;17)$.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel $k$, $u_{16k+8}$ est divisible par $17$.