Justification 1.
Donc, $AB=AO$ et le triangle $OAB$ est isocèle en $A$. De plus, $AO^2+AB^2=29+29=58=OB^2$ et d'après la réciproque du théorème de Pythagore , le triangle $OAB$ est rectangle en $A$.
Finalement, le triangle $OAB$ est rectangle et isocèle en $A$. La proposition 1 est vraie.
Justification 2. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
\begin{align*} |z-i|=|z+2i|&\Leftrightarrow|x+i(y-1)|^2=|x+i(y+2)|^2\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=x^2+(y+2)^2\\ &\Leftrightarrow y^2-2y+1=y^2+4y+4\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}. \end{align*}$(\Delta)$ est donc une droite parallèle à l'axe des abscisses qui est l'axe des réels. La proposition 2 est vraie.
Justification 3.
$$3+i\sqrt{3}=2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=2\sqrt{3}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)=2\sqrt{3}e^{i\pi/6}.$$Ensuite, si $n$ est un entier naturel non nul,
En particulier, si $n=2$, on obtient
qui n'est pas un imaginaire pur. Donc la proposition 3 est fausse.
Justification 4.Un nombre complexe non nul d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive. Posons $z=iy$ où $y$ est un réel strictement positif.
$|i+z|=|i(y+1)|=|i|\times|y+1|=y+1$ car $|i|=1$ et car $y+1\geqslant0$.
$1+|z|=1+|iy|=1+|i|\times|y|=y+1$ car $|i|=1$ et car $y\geqslant0$.
Donc $|i+z|=1+|z|$ et la proposition 4 est vraie.
Justification 5. Soit $z$ un nombre complexe de module $1$. Il existe un réel $\theta$ tel que $z=e^{i\theta}$. Alors
\begin{align*} z^2+\dfrac{1}{z^2}&=(e^{i\theta})^2+\dfrac{1}{(e^{i\theta})^2}=e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}=\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)+\cos(2\theta)-i\sin(2\theta)\\ &=2\cos(2\theta). \end{align*}Donc $z^2+\dfrac{1}{z^2}$ est un nombre réel et la proposition 5 est vraie.