Polynésie 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

1. Soient $A$ le point d'affixe $2-5i$ et $B$ le point d'affixe $7-3i$.

   Proposition 1 : Le triangle $OAB$ est rectangle isocèle.

2. Soit $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z-i|=|z +2i|$.

   Proposition 2 : $(\Delta)$ est une droite parallèle à l'axe des réels.

3. Soit $z=3+i\sqrt{3}$.

   Proposition 3 : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $z^{3n}$ est imaginaire pur.

4. Soit $z$ un nombre complexe non nul.

   Proposition 4 : Si $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument de $z$ alors $|i+z|= 1+|z|$.

5. Soit $z$ un nombre complexe non nul.

   Proposition 5 : Si le module de $z$ est égal à $1$ alors $z^2+\dfrac{1}{z^2}$ est un nombre réel.