EXERCICE 2 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
- la probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,1$ ;
- s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ;
- s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$.
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :
- $G_n$ l'événement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg~;
- $p_n$ la probabilité de l'événement $G_n$.
On a donc $p_1 =0,1$.
- Montrer que $p_2=0,62$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
- Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
- Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
- Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5}$.
- Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n=\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
- Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
- Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on : $\dfrac{3}{4}-p_n<10^{-7}$ ?