- Représentons la situation par un arbre.
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D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
p_2&=p(G_2)=p(G_1\cap G_2)+p\left(\overline{G_1}\cap G_2\right)=p(G_1)\times p_{G_1}(G_2)+p\left(\overline{G_1}\right)\times p_{\overline{G_1}}(G_2)\\
&=0,1\times0,8+(1-0,1)\times0,6=0,08+0,54=0,62.
\end{align*}
$p(G_2)=0,62$.
- La probabilité demandée est $p_{G_2}\left(\overline{G_1}\right)$. Or
$p_{G_2}\left(\overline{G_1}\right)=\dfrac{p\left(\overline{G_1}\cap G_2\right)}{p(G_2)}=\dfrac{p\left(\overline{G_1}\right)\times p_{\overline{G_1}}(G_2)}{p(G_2)}=\dfrac{(1-0,1)\times0,6}{0,62}=\dfrac{0,54}{0,62}=\dfrac{54}{62}=\dfrac{27}{31}$.
$p_{G_2}(\overline{G_1})=\dfrac{27}{31}$.
- On rajoute des branches à l'arbre du 1) :
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L'événement \og le joueur gagne au moins une des trois premières parties \fg~est l'événement contraire de l'événement \og le joueur
ne gagne aucune des trois premières parties \fg. La probabilité que le joueur ne gagne aucune des trois premières parties est
$p\left(\overline{G_1}\cap\overline{G_2}\cap\overline{G_3}\right)=0,9\times0,4\times0,4=0,144$
et donc la probabilité que le joueur gagne au moins une des trois premières parties est $1-0,144=0,856$.
La probabilité que le joueur gagne au moins une des trois premières parties est $0,856$.
- D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
p_{n+1}&=p(G_{n+1})=p\left(G_{n}\cap G_{n+1}\right)+p\left(\overline{G_n}\cap G_{n+1}\right)=p\left(G_n\right)\times p_{G_n}\left(G_{n+1}\right)+p\left(\overline{G_n}\right)\times p_{\overline{G_n}}\left(G_{n+1}\right)\\
&=p_n\times0,8+(1-p_n)\times0,6=0,2p_n+0,6=\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5}.
\end{align*}
Pour tout entier naturel non nul $n$, $p_{n+1}=\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5}$.
- Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $p_n=\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
- $\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^1=\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{20}=\dfrac{15}{20}-\dfrac{13}{20}=\dfrac{2}{20}=0,1=p_1$ et l'égalité est vraie quand $n=1$.
- Soit $n\geqslant1$. Supposons que $p_n=\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$. Alors,
\begin{align*}
p_{n+1}&=\dfrac{1}{5}p_n+\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n\right)+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{20}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{15}{20}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\\
&=\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}.
\end{align*}
Le résultat est démontré par récurrence.
Pour tout entier naturel non nul $n$, $p_{n}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
- Puisque $\left|\dfrac{1}{5}\right|< 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n=0$ et donc
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}p_{n}=\dfrac{3}{4}$.
- Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{align*}
\dfrac{3}{4}-p_n< 10^{-7}&\Leftrightarrow \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n<10^{-7}\Leftrightarrow \dfrac{13}{4}\times\dfrac{1}{5^n}<\dfrac{1}{10^{7}}\Leftrightarrow 5^n>\dfrac{13\times10^7}{4}\\
&\Leftrightarrow\ln(5^n)>\ln\left(3,25\times10^7\right)\;(\text{par stricte croissance de la fonction}\;\ln\;\text{sur}\;]0,+\infty[)\\
&\Leftrightarrow n\ln(5)>\ln\left(3,25\times10^7\right)\Leftrightarrow n>\dfrac{\ln\left(3,25\times10^7\right)}{\ln(5)}\;(\text{car}\;\ln(5)>0)\\
&\Leftrightarrow n>10,7\ldots\Leftrightarrow n\geqslant11\;(\text{car}\;n\;\text{est un entier}).
\end{align*}
Les entiers naturels non nuls $n$ pour lesquels $\dfrac{3}{4}-p_n< 10^{-7}$ sont les entiers supérieurs ou égaux à $11$.