Pondichéry 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.
   
   On note $p_0$ la probabilité d'obtenir 0 point.
   On note $p_3$ la probabilité d'obtenir 3 points.
   On note $p_5$ la probabilité d'obtenir 5 points.

   On a donc $p_0+p_3 +p_5 = 1$. Sachant que $p_5=\dfrac{1}{2}p_3$ et que $p_5= \dfrac{1}{3}p_0$, déterminer les valeurs de $p_0$, $p_3$ et $p_5$.



2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

   On note $G_2$ l'événement : \og le joueur gagne la partie en 2 lancers \fg.
   On note $G_3$ l'événement : \og le joueur gagne la partie en 3 lancers \fg.
   On note $P$ l'événement : \og le joueur perd la partie \fg.
   On note $p(A)$ la probabilité d'un événement $A$.

   1. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p(G_2)=\dfrac{5}{36}$.
      On admettra dans la suite que $p(G_3) =\dfrac{7}{36}$.
   
   
   2. En déduire $p(P)$.


3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
   Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?


4. Pour une partie, la mise est fixée à $2$ \EUR.
   Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit $5$ \EUR. S'il gagne en trois lancers, il reçoit $3$ \EUR.
   S'il perd, il ne reçoit rien.

   On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie.
   Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : $-2$, $1$ et $3$.

   1. Donner la loi de probabilité de $X$.
   
   
   2. Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ?