Pondichéry 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

1. On a $p_5=\dfrac{1}{3}p_0$ puis $p_3=2p_5=\dfrac{2}{3}p_0$.

   L'égalité $p_0+p_3+p_5=1$ fournit alors $\left(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)p_0=1$ puis $p_0=\dfrac{1}{2}$, $p_3=\dfrac{1}{3}$ et $p_5=\dfrac{1}{6}$.

   $p_0=\dfrac{1}{2}$, $p_3=\dfrac{1}{3}$ et $p_5=\dfrac{1}{6}$.



2. 1. Représentons la situation par un arbre. *******************************************
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      Les événements amenant au gain de la partie en deux lancers sont $(3\;\text{points},5\;\text{points})$, $(\text{5points},3\;\text{points})$ et $(5\;\text{points},5\;\text{points})$. Leurs probabilités respectives sont $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}$ et $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}$ et $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$. Donc

      $p(G_2)=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{5}{36}$.

      $p(G_2)=\dfrac{5}{36}$.

   
   
   2. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité que le joueur gagne la partie est $p(G)=p(G_2)+p(G_3)=\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$

      et donc $p(P)=1-p(G)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.

      $p(P)=\dfrac{2}{3}$.



3. Notons $Y$ le nombre de fois que l'événement $P$ est réalisé. La variable aléatoire $Y$ est régie par un schéma de \textsc{Bernoulli}. En effet,
   
   
   • $6$ expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
   • chaque expérience a deux issues~:~\og l'événement $P$ est réalisé \fg~avec une probabilité $p=\dfrac{2}{3}$ ou \og l'événement $\overline{P}$ est réalisé \fg~avec une probabilité $1-p=\dfrac{1}{3}$.

   La variable aléatoire $Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=\dfrac{2}{3}$.

   La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est $p(Y\leqslant5)$. Or

   $p(Y\leqslant5)=1-p(Y=6)=1-\dbinom{6}{6}\left(\dfrac{2}{3}\right)^6\left(\dfrac{1}{3}\right)^0=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^6=\dfrac{665}{729}$.

   La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est $\dfrac{665}{729}$ ou encore $0,91$ à $10^{-2}$ près.



4. 1. Loi de probabilité de $X$.
      D'après les questions précédentes, $p(X=-2)=p(P)=\dfrac{2}{3}$ puis $p(X=1)=p(G_3)=\dfrac{7}{36}$ et $p(X=3)=p(G_2)=\dfrac{5}{36}$.
      Résumons ces résultats dans un tableau.

      Valeurs prises par $X$ : $x_i$	$-2$	$1$	$3$
      $p(X=x_i)$	$\dfrac{2}{3}$	$\dfrac{7}{36}$	$\dfrac{5}{36}$

   
   
   2. L'espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{2}{3}\times(-2)+\dfrac{7}{36}\times1+\dfrac{5}{36}\times3=-\dfrac{4}{3}+\dfrac{22}{36}=-\dfrac{24}{18}+\dfrac{11}{18}=-\dfrac{13}{18}$.

      $E(X)=-\dfrac{13}{18}$.

      Puisque $E(X)< 0$, le jeu est défavorable au joueur.