Rochambeau 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 (4 points) (commun à tous les candidats)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de $25$ ordinateurs dont $3$ sont défectueux.
Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis.
On choisit au hasard successivement (et sans répétition) deux ordinateurs de cette salle.

Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

Partie B

La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda> 0$.

pour tout réel $t$ positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à $t$ années, notée $p(X\leqslant t)$, est donnée par : $p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx$.

1. Déterminer $\lambda$ sachant que $p(X>5) = 0,4$.


2. Dans cette question, on prendra $\lambda= 0,18$.

   Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des $3$ premières années, quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à $5$ ans ?



3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que $p(X>5) = 0,4$.
   1. On considère un lot de $10$ ordinateurs.
      Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à $5$ ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.
   
   
   2. Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'événement \og l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans \fg~soit supérieure à $0,999$ ?